Come consideri # x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 #?

Questo quartico ha quattro zeri, che sono il complesso non reale #5#radici di #1#, come possiamo vedere da:

#(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = x^5-1#

Quindi se volessimo considerare questo polinomio come un prodotto di fattori lineari con coefficienti complessi, allora potremmo scrivere:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x-(cos((2pi)/5) + i sin((2pi)/5))) * (x-(cos((4pi)/5) + i sin((4pi)/5))) * (x-(cos((6pi)/5) + i sin((6pi)/5))) * (x-(cos((8pi)/5) + i sin((8pi)/5)))#

Un approccio algebrico più pulito consiste nel notare che a causa della simmetria dei coefficienti, se #x=r# è uno zero di #x^4+x^3+x^2+x+1#, poi #x=1/r# è anche uno zero.

Quindi c'è una fattorizzazione nella forma:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x-r_1)(x-1/r_1)(x-r_2)(x-1/r_2)#

#=(x^2-(r_1+1/r_1)x+1)(x^2-(r_2+1/r_2)x+1)#

Quindi cerchiamo una fattorizzazione:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)#

#=x^4+(a+b)x^3+(2+ab)x^2+(a+b)x+1#

Coefficienti equivalenti troviamo:

#a+b = 1#

#2+ab=1#, so #ab = -1# and #b=-1/a#

sostituendo #b=-1/a# in #a+b=1# noi abbiamo:

#a-1/a = 1#

Quindi:

#a^2-a-1 = 0#

Usando il formula quadratica, possiamo dedurre:

#a = 1/2 +- sqrt(5)/2#

Poiché la nostra derivazione era simmetrica in #a# e #b#, una di queste radici può essere utilizzata per #a# e l'altro per #b#, trovare:

#x^4+x^3+x^2+x+1#

#=(x^2+(1/2+sqrt(5)/2)x+1)(x^2+(1/2-sqrt(5)/2)x+1)#

Se vogliamo un ulteriore fattore, utilizzare la formula quadratica su ciascuno di questi fattori quadratici per trovare i fattori lineari con coefficienti complessi.