Come consideri # x ^ 6 + 125 #?

La somma dell'identità dei cubi può essere scritta:

#a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)#

Quindi troviamo:

#x^6+125 = (x^2)^3+5^3#

#color(white)(x^6+125) = (x^2+5)((x^2)^2-5(x^2)+5^2)#

#color(white)(x^6+125) = (x^2+5)(x^4-5x^2+25)#

Per calcolare il quartico rimanente, si noti che:

#(a^2-kab+b^2)(a^2+kab+b^2) = a^4+(2-k^2)a^2b^2+b^4#

Quindi con #a=x# e #b=sqrt(5)#, noi troviamo:

#(x^2-ksqrt(5)x+5)(x^2+ksqrt(5)x+5) = x^4+(2-k^2)5x^2+25#

Coefficienti equivalenti, vogliamo:

#(2-k^2)5 = -5#

Quindi:

#k = +-sqrt(3)#

Così:

#x^4-5x^2+25 = (x^2-sqrt(3)sqrt(5)x+5)(x^2+sqrt(3)sqrt(5)x+5)#

#color(white)(x^4-5x^2+25) = (x^2-sqrt(15)x+5)(x^2+sqrt(15)x+5)#

Mettere tutto insieme:

#x^6+125 = (x^2+5)(x^2-sqrt(15)x+5)(x^2+sqrt(15)x+5)#

Possiamo rapidamente determinare che nessuna di queste quadratiche ha fattori lineari con coefficienti reali da allora #x^6+125# non ha veri zeri.