Come consideri $x^{6} + 125$ $x ^ 6 + 125$ ?

Risposta:

$x^{6} + 125 = (x^{2} + 5) (x^{2} - \sqrt{15} x + 5) (x^{2} + \sqrt{15} x + 5)$ $x^6+125 = (x^2+5)(x^2-sqrt(15)x+5)(x^2+sqrt(15)x+5)$

Spiegazione:

La somma dell'identità dei cubi può essere scritta:

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Quindi troviamo:

$x^{6} + 125 = {(x^{2})}^{3} + 5^{3}$ $x^6+125 = (x^2)^3+5^3$

$x^{6} + 125 = (x^{2} + 5) ({(x^{2})}^{2} - 5 (x^{2}) + 5^{2})$ $color(white)(x^6+125) = (x^2+5)((x^2)^2-5(x^2)+5^2)$

$x^{6} + 125 = (x^{2} + 5) (x^{4} - 5 x^{2} + 25)$ $color(white)(x^6+125) = (x^2+5)(x^4-5x^2+25)$

Per calcolare il quartico rimanente, si noti che:

$(a^{2} - k a b + b^{2}) (a^{2} + k a b + b^{2}) = a^{4} + (2 - k^{2}) a^{2} b^{2} + b^{4}$ $(a^2-kab+b^2)(a^2+kab+b^2) = a^4+(2-k^2)a^2b^2+b^4$

Quindi con $a = x$ $a=x$ e $b = \sqrt{5}$ $b=sqrt(5)$ , noi troviamo:

$(x^{2} - k \sqrt{5} x + 5) (x^{2} + k \sqrt{5} x + 5) = x^{4} + (2 - k^{2}) 5 x^{2} + 25$ $(x^2-ksqrt(5)x+5)(x^2+ksqrt(5)x+5) = x^4+(2-k^2)5x^2+25$

Coefficienti equivalenti, vogliamo:

$(2 - k^{2}) 5 = - 5$ $(2-k^2)5 = -5$

Quindi:

$k = \pm \sqrt{3}$ $k = +-sqrt(3)$

Così:

$x^{4} - 5 x^{2} + 25 = (x^{2} - \sqrt{3} \sqrt{5} x + 5) (x^{2} + \sqrt{3} \sqrt{5} x + 5)$ $x^4-5x^2+25 = (x^2-sqrt(3)sqrt(5)x+5)(x^2+sqrt(3)sqrt(5)x+5)$

$x^{4} - 5 x^{2} + 25 = (x^{2} - \sqrt{15} x + 5) (x^{2} + \sqrt{15} x + 5)$ $color(white)(x^4-5x^2+25) = (x^2-sqrt(15)x+5)(x^2+sqrt(15)x+5)$

Mettere tutto insieme:

$x^{6} + 125 = (x^{2} + 5) (x^{2} - \sqrt{15} x + 5) (x^{2} + \sqrt{15} x + 5)$ $x^6+125 = (x^2+5)(x^2-sqrt(15)x+5)(x^2+sqrt(15)x+5)$

Possiamo rapidamente determinare che nessuna di queste quadratiche ha fattori lineari con coefficienti reali da allora $x^{6} + 125$ $x^6+125$ non ha veri zeri.

Come consideri x ^ 6 + 125 x6+125 x ^ 6 + 125 ?

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Come consideri $x^{6} + 125$ $x ^ 6 + 125$ ?