Come posso risolvere 'log (base 10) 5' senza usare la calcolatrice?
Risposta:
Vedi spiegazione
Spiegazione:
Se lo hai memorizzato
log2=0.3
puoi seguire in questo modo
log5=log(10/2)=1-log2=1-0.3=0.7
Se desideri un modo generale per trovare i logaritmi senza utilizzare calcolatrici o tabelle, puoi utilizzare questa formula:
(1/2)ln|(1+x)/(1-x)|=f(x)=x+x^3/3+x^5/5+...
E
logy=lny/ln10=2/ln10*(1/2*ln|y|) => logy=0.869*(1/2*ln|y|) where y=(1+x)/(1-x)
(Nota 1: è possibile utilizzare 2/ln10= 0.868589 con la precisione che ti piace. Usando due termini della serie, 0.869 ha un livello adeguato di precisione. Nota 2: i valori di x devono essere inferiori a 1.)
Non possiamo calcolare log5 direttamente perché
(x+1)/(1-x)=5 => x+1=5-5x => 6x=4 => x=1.5
E la serie non converge quando x>1
Ma da allora 5=2*2.5
for y_1=2 ->(x+1)/(1-x)=2 => x+1=2-2x => x=1/3~=0.3333
f(x=1/3)=1/3+1/3^3*1/3=1/3+1/81=0.3333+0.0123=0.3456
for y_2=2.5 -> (x+1)/(1-x)=2.5 => x+1=2.5-2.5x => 3.5x=1.5 => x=3/7~=0.4286
Naturalmente possiamo usarlo x=0.4286. Ma forse c'è un modo più semplice (senza un calcolatore dobbiamo pensarci) come:
Considerando che 5=2^2*1.25 (e dal momento che abbiamo già calcolato f(x=1/3)):
for y_2=1.25 -> (x+1)/(1-x)=1.25 => x+1=1.25-1.25x => 2.25x=0.25 => x=25/225=1/9~=0.1111
f(x=1/9)=0.1111+1/9^3*1/3=0.1111+1/729*1/3=1/9+1/2187=0.1111+0.0005=0.1116
(per quanto riguarda il numero 0.0005 ricordalo e basta 10/2=5)
Utilizzando i risultati sopra
log5=0.869[2*(1/2*ln|2|)+(1/2*ln|1.25|)]=0.869[2*f(x=1/3)+f(x=1/9)]=0.869[2*0.3456+0.1116]=0.869[0.6912+0.1116]=0.869*0.8028=0.6976332 or 0.698 in 3 decimali
Dobbiamo essere consapevoli del fatto che quest'ultima stima è inferiore al risultato corretto.
(Infatti log5=0.6990)