Come puoi trovare l'espansione taylor di #ln (1-x) # circa x = 0?

Si noti che #frac{d}{dx}(ln(1-x)) = frac{-1}{1-x}#, #x<1#.

Puoi esprimere #frac{-1}{1-x}# come una serie di potenze che utilizza l'espansione binomiale (per #x# nel quartiere di zero).

#frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}#

#= -( 1 + x + x^2 + x^3 + ... )#

Per ottenere la serie Maclaurin di #ln(1-x)#, integrare il "polinomio" sopra riportato. Otterrete

#ln(1-x) = - x - x^2/2 - x^3/3 - x^4/4 - ...#