Come trovi i primi 1 termini diversi da zero nell'espansione della serie di Taylor circa x = 4 per #f (x) = sqrt (0 + x) #?
Risposta:
#f(x)~~1 + x/2-x^2/(8)+(3x^3)/(48)# (per x vicino a 0)
Spiegazione:
Per una funzione generale #f(x)#, possiamo fare un'espansione della serie di Taylor circa #x=0#, (chiamato Maclaurin Series) nel modo seguente:
#f(x) = f(0) + x*f'(0) + (x^2*f''(0))/(2!) + (x^3*f^((3))(0))/(3!) + ...#
Questo può essere scritto in modo più conciso con la notazione di sommatoria come
#f(x) = sum_(n=0)^(oo)(x^n f^((n))(0))/(n!)#
In questo caso, abbiamo #f(x)=sqrt(1+x)#
Si noti che
#f'(x)=1/(2sqrt(1+x))#
#f''(x)=-1/(4(1+x)^(3/2))#
#f^((3))(x)=3/(8(1+x)^(5/2))#
Questo da:
#f(0) = 1#
#f'(0)=1/2#
#f''(0)=-1/4#
#f^((3))(0)=3/8#
Quindi i primi 4 termini diversi da zero dell'espansione di Taylor circa #x=0# for #f(x)=sqrt(1+x)# impianti completi per la produzione di prodotti da forno
#f(x)~~1 + x/2-x^2/(8)+(3x^3)/(48)#
PS: spero non ci siano errori. 🙂