Come risolvi # cos (theta) - sin (theta) = 1 #?

Ogni volta #cos(theta) = 1#,

otteniamo #sin(theta) = +-sqrt(1-cos^2theta) = 0#

e #cos(theta)-sin(theta) = 1 - 0 = 1#.

#cos(theta) = 1# for #theta = 2npi# per tutti #n in ZZ#.

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Ogni volta #sin(theta) = -1#,

otteniamo #cos(theta) = +-sqrt(1-sin^2theta) = 0#

e #cos(theta)-sin(theta) = 0 - (-1) = 1#.

#sin(theta) = -1# for #theta = -pi/2+2npi# per tutti #n in ZZ#.

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Mettendo insieme due casi, abbiamo soluzioni quando:

#theta = 2npi# per tutti #n in ZZ#

e quando

#theta = -pi/2 + 2npi# per tutti #n in ZZ#

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Per assicurarsi che queste siano le uniche soluzioni:

Iniziare con #cos(theta)-sin(theta)=1#, prima aggiungi #sin(theta)# su entrambi i lati:

#cos(theta)=sin(theta)+1#

Quindi quadrare entrambi i lati:

#cos^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#

Quindi utilizzare #cos^2(theta)=1-sin^2(theta)# ottenere:

#1-sin^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#

aggiungere #sin^2(theta)-1# da entrambe le parti per ottenere:

#0=2sin^2(theta)+2sin(theta)=2sin(theta)(sin(theta)+1)#

Quindi neanche #sin(theta) = 0# or #sin(theta) = -1#

Abbiamo già tenuto conto #sin(theta) = -1# nelle nostre soluzioni.

Che dire #sin(theta) = 0#?

Se è così, allora

#cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) = 1 - 0 = 1#

So #cos(theta) = +-sqrt(1) = +-1#

Solo il caso #cos(theta) = 1# soddisfa #cos(theta)-sin(theta) = 1# e abbiamo già tenuto conto anche di quel caso.

Quindi abbiamo trovato tutte le soluzioni.