Come risolvi $cos (theta) - sin (theta) = 1$ ?

Ogni volta $cos(theta) = 1$ ,

otteniamo $sin(theta) = +-sqrt(1-cos^2theta) = 0$

e $cos(theta)-sin(theta) = 1 - 0 = 1$ .

$cos(theta) = 1$ for $theta = 2npi$ per tutti $n in ZZ$ .

Ogni volta $sin(theta) = -1$ ,

otteniamo $cos(theta) = +-sqrt(1-sin^2theta) = 0$

e $cos(theta)-sin(theta) = 0 - (-1) = 1$ .

$sin(theta) = -1$ for $theta = -pi/2+2npi$ per tutti $n in ZZ$ .

Mettendo insieme due casi, abbiamo soluzioni quando:

$theta = 2npi$ per tutti $n in ZZ$

e quando

$theta = -pi/2 + 2npi$ per tutti $n in ZZ$

Per assicurarsi che queste siano le uniche soluzioni:

Iniziare con $cos(theta)-sin(theta)=1$ , prima aggiungi $sin(theta)$ su entrambi i lati:

$cos(theta)=sin(theta)+1$

Quindi quadrare entrambi i lati:

$cos^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1$

Quindi utilizzare $cos^2(theta)=1-sin^2(theta)$ ottenere:

$1-sin^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1$

aggiungere $sin^2(theta)-1$ da entrambe le parti per ottenere:

$0=2sin^2(theta)+2sin(theta)=2sin(theta)(sin(theta)+1)$

Quindi neanche $sin(theta) = 0$ or $sin(theta) = -1$

Abbiamo già tenuto conto $sin(theta) = -1$ nelle nostre soluzioni.

Che dire $sin(theta) = 0$ ?

Se è così, allora

$cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) = 1 - 0 = 1$

So $cos(theta) = +-sqrt(1) = +-1$

Solo il caso $cos(theta) = 1$ soddisfa $cos(theta)-sin(theta) = 1$ e abbiamo già tenuto conto anche di quel caso.

Quindi abbiamo trovato tutte le soluzioni.

Come risolvi cos (theta) - sin (theta) = 1 cos (theta) - sin (theta) = 1 ?