Come risolviamo l'equazione # asinx + bcosx = c #?

Quello che uno sta cercando di fare qui è cercare di risolvere un'equazione trigonometrica #asinx+bcosx=c#.

Dividendo ogni termine per #sqrt(a^2+b^2)#, otteniamo l'equazione data

#a/sqrt(a^2+b^2)sinx+b/sqrt(a^2+b^2)cosx=c/sqrt(a^2+b^2)#

Ora per risolvere tale equazione, supponendo #cosalpha=b/sqrt(a^2+b^2)# e #sinalpha=a/sqrt(a^2+b^2)#.

Osservare che è compatibile come #cos^2alpha+sin^2alpha=1# e #tanalpha=a/b# or #alpha=tan^(-1)(a/b)#

e quindi l'equazione data diventa

#cosxcosalpha+sinxsinalpha=c/sqrt(a^2+b^2)#

or #cos(x-alpha)=c/sqrt(a^2+b^2)#

e quindi #x-alpha=2npi+-cos^(-1)(c/sqrt(a^2+b^2))#

e #x=2npi+-cos^(-1)(c/sqrt(a^2+b^2))+alpha#

or #x=2npi+-cos^(-1)(c/sqrt(a^2+b^2))+tan^(-1)(a/b)#