Come risolviamo l'equazione $a sin x + b cos x = c$ $asinx + bcosx = c$ ?

Risposta:

Quello che uno sta cercando di fare qui è cercare di risolvere un'equazione trigonometrica $a sin x + b cos x = c$ $asinx+bcosx=c$ . Per i dettagli, vedere di seguito.

Spiegazione:

Quello che uno sta cercando di fare qui è cercare di risolvere un'equazione trigonometrica $a sin x + b cos x = c$ $asinx+bcosx=c$ .

Dividendo ogni termine per $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ $sqrt(a^2+b^2)$ , otteniamo l'equazione data

$\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} cos x = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $a/sqrt(a^2+b^2)sinx+b/sqrt(a^2+b^2)cosx=c/sqrt(a^2+b^2)$

Ora per risolvere tale equazione, supponendo $cos α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $cosalpha=b/sqrt(a^2+b^2)$ e $sin α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $sinalpha=a/sqrt(a^2+b^2)$ .

Osservare che è compatibile come ${cos}^{2} α + {sin}^{2} α = 1$ $cos^2alpha+sin^2alpha=1$ e $tan α = \frac{a}{b}$ $tanalpha=a/b$ or $α = {tan}^{- 1} (\frac{a}{b})$ $alpha=tan^(-1)(a/b)$

e quindi l'equazione data diventa

$cos x cos α + sin x sin α = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $cosxcosalpha+sinxsinalpha=c/sqrt(a^2+b^2)$

or $cos (x - α) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $cos(x-alpha)=c/sqrt(a^2+b^2)$

e quindi $x - α = 2 n π \pm {cos}^{- 1} (\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})$ $x-alpha=2npi+-cos^(-1)(c/sqrt(a^2+b^2))$

e $x = 2 n π \pm {cos}^{- 1} (\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}) + α$ $x=2npi+-cos^(-1)(c/sqrt(a^2+b^2))+alpha$

or $x = 2 n π \pm {cos}^{- 1} (\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}) + {tan}^{- 1} (\frac{a}{b})$ $x=2npi+-cos^(-1)(c/sqrt(a^2+b^2))+tan^(-1)(a/b)$

Come risolviamo l'equazione asinx+bcosx=c asinx + bcosx = c ?

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Come risolviamo l'equazione $a sin x + b cos x = c$ $asinx + bcosx = c$ ?