Come si converte # r = 4 / (1-costheta) # in forma rettangolare?

Abbiamo:

#x = r cos theta#

#y = r sin theta#

#r = sqrt(x^2+y^2)#

Dato:

#r = 4/(1-cos theta)#

Moltiplica entrambi i lati per #(1-cos theta)# ottenere:

#r - r cos theta = 4#

Quindi abbiamo:

#sqrt(x^2+y^2) - x = 4#

Potremmo esprimere questa equazione in altri modi, ma notalo #sqrt(x^2+y^2)# è la radice quadrata non negativa. Quindi, se la nostra reespressione comporta l'eliminazione della radice quadrata mediante quadratura, allora abbiamo bisogno della restrizione #x >= -4#.

aggiungere #x# da entrambe le parti per ottenere:

#sqrt(x^2+y^2) = x+4#

Quadrare entrambi i lati (notando i commenti sopra) per ottenere:

#x^2+y^2 = x^2+8x+16#

Sottrarre #x^2# da entrambi i lati per ottenere:

#y^2 = 8x+16 = 8(x+2)#

Ora notalo #y^2 >= 0# per qualsiasi valore reale di #y#.

Quindi #x >= -2# che soddisfa il requisito #x >= -4#

Quindi non abbiamo bisogno di limitare esplicitamente il dominio e possiamo affermare:

#y^2 = 8x+16#

grafico {y ^ 2 = 8x + 16 [-10, 10, -5, 5]}