Come si converte # r = 4tan (θ) sec (θ) # in forma cartesiana?
Risposta:
#y=x^2/4#
Spiegazione:
Solo per ricordare le basi di coordinate polari:
Lo sapevo #sec theta= 1/cos theta#, l'espressione in coordinate polari può essere così riscritta:
#r=4*tan theta(1/cos theta)#
Verso la conversione sappiamo che:
#r=sqrt(x^2+y^2)#
#theta=arc tan(y/x)#
Poi #tan theta=tan (arc tan (y/x))=y/x#
Per completare la conversione dobbiamo solo determinare #cos theta# in funzione di xey:
#tan theta = y/x# => #sin theta/cos theta =y/x# => #sqrt (1-cos^2 theta)/cos theta =y/x# => #(1-cos^2 theta)/cos^2 theta=y^2/x^2# => #x^2-x^2*cos^2 theta = y^2*cos^2 theta# => #cos^2 theta*(x^2+y^2)=x^2# => #cos theta =x/sqrt(x^2+y^2)#
sostituendo #r#, #tan theta# e #cos theta#, dalle corrispondenti funzioni in xey, l'espressione originale diventa:
#sqrt(x^2+y^2)=4.(y/x)(1/(x/sqrt(x^2+y^2)))# => #cancel(sqrt(x^2+y^2))*(x/cancel(sqrt(x^2+y^2)))=4.(y/x)# => #x^2=4y#
Testare il risultato (o riconvertirlo in coordinate polari):
#x^2=4y# => #(r*cos theta)^2=4*r*sin theta# => #r ^cancel(2)*cos^2 theta=4*cancel(r)*sin theta# => #r=4(sin theta/cos theta)(1/(cos theta))# [Questa espressione è equivalente all'espressione originale. Pertanto l'espressione risultante (in xey) è corretta.]