Come si forma un polinomio f (x) con coefficienti reali che hanno dato grado e zeri? Grado 4; zeri -5 + 2i; 3 molteplicità 2 Come si forma un polinomio f (x) con coefficienti reali che hanno dato grado e zeri? Grado 5; zeri: -4; -io; -3 + i
Risposta:
1)f(x)=x^4+4x^3-22x^2-84x+261f(x)=x4+4x3−22x2−84x+261
2)f(x)=x^5+10x^4+ 3 x^3+50x^2+34x+40f(x)=x5+10x4+3x3+50x2+34x+40
Spiegazione:
1)x=-5+2i, x=-5-2i, x=3, x=3x=−5+2i,x=−5−2i,x=3,x=3
f(x)=(x+5-2i)(x+5+2i)(x-3)^2f(x)=(x+5−2i)(x+5+2i)(x−3)2
Permettere:
(x+5-2i)(x+5+2i)=A, (x-3)^2=B(x+5−2i)(x+5+2i)=A,(x−3)2=B
A=x^2+5x+2ix+5x+25+10i-2ix-10i-4i^2A=x2+5x+2ix+5x+25+10i−2ix−10i−4i2
Ma: =>i^2=-1⇒i2=−1
:. A=x^2+10x+29
B=x^2-6x+9
f(x)=A*B=(x^2+10x+29)(x^2-6x+9)
f(x)=x^4-6x^3+9x^2+10x^3-60x^2+90x+29x^2-174x+261
f(x)=x^4+4x^3-22x^2-84x+261
2)x=-4, x=+-(i), x=(-3+-i)
f(x)=(x+4)(x-i)(x+i)(x+3-i)(x+3+i)
f(x)=(x+4)(x^2+1)(x^2+6x+10)
f(x)=x^5+10x^4+ 3 x^3+50x^2+34x+40