Come si integra ${csc}^{3} x$ $csc ^ 3x$ ?

$\frac{- cot x csc x - ln (| cot x + csc x |)}{2} + C$ $(-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx)))/2+C$

Abbiamo:

$I = \int {csc}^{3} x d x$ $I=intcsc^3xdx$

Noi useremo integrazione per parti. Innanzitutto, riscrivi l'integrale come:

$I = \int {csc}^{2} x csc x d x$ $I=intcsc^2xcscxdx$

Poiché l'integrazione per parti assume la forma $\int u d v = u v - \int v d u$ $intudv=uv-intvdu$ , permettere:

${(u=cscx" "=>" "du=-cotxcscxdx),(dv=csc^2xdx" "=>" "v=-cotx):}$

Applicazione dell'integrazione per parti:

$I=-cotxcscx-intcot^2xcscxdx$

Tramite l'identità pitagorica, scrivi $cot^2x$ as $csc^2x-1$ .

$I=-cotxcscx-int(csc^2x-1)(cscx)dx$

$I=-cotxcscx-intcsc^3xdx+intcscxdx$

Si noti che $I=intcsc^3xdx$ e $intcscxdx=-ln(abs(cotx+cscx))$ .

$I=-cotxcscx-I-ln(abs(cotx+cscx))$

Aggiungi l'integrale originale $I$ da entrambi i lati.

$2I=-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx))$

Risolvere per $I$ e aggiungi la costante di integrazione:

$I=(-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx)))/2+C$

Come si integra csc ^ 3x csc3x csc ^ 3x ?