Che cos'è # int_1 ^ oo sinx / x ^ 2 dx #?

Per elaborare l'antiderivativo, applicheremo integrazione per parti con i #f=sin(x)# e #g'=x^-2#

Questo rende il nostro integrale:
#-sin(x)/x-int-cos(x)/x dx=-sin(x)/x+int cos(x)/x dx#

Sulla destra abbiamo un integrale speciale, il Coseno Integrale. Di solito è indicato con #Ci(x)#. Ciò significa che la risposta all'integrale è:
#Ci(x)-sin(x)/x+C#

Ora possiamo collegare i nostri limiti di integrazione per ottenere:
#int_1^oosin(x)/x^2=lim_(x->oo)(Ci(x)-sin(x)/x)-(Ci(1)-sin(1))#

Perché il #Ci(x)# la funzione è il risultato di un'integrazione, avrà delle costanti. Che cosa sia questa costante non importa, perché nella maggior parte delle applicazioni la annullerai poiché ne sottrarrai due #Ci(x)# valori (dovuti al Teorema fondamentale del calcolo).

Quando si calcola il #Ci(x)# funzione, devi scegliere un valore per questa costante (puoi scegliere quello che ti piace per comodità, poiché si annullerà). Potresti aspettarti che la scelta sia #0#, ma è stato deciso che questa costante dovrebbe essere #gamma# (tramite la Costante di Eulero Mascheroni). Questo è così che:
#lim_(x->oo)Ci(x)=0#

Ciò significa che possiamo valutare il limite nella nostra espressione (mi aspetto che tu sia in grado di valutare il limite sinusoidale da solo):
#lim_(x->oo)(Ci(x)-sin(x)/x)=0#

Quindi, siamo rimasti con:
#-(Ci(1)-sin(1))=sin(1)-Ci(1)#

Potresti semplicemente attaccare il #Ci(1)# valore in qualcosa come Wolfram Alpha per ottenere una risposta, ma solo per divertimento, guardiamo come si potrebbe arrivare al valore.

Il modo più semplice per approssimarsi #Ci(1)# sta probabilmente usando una serie di Maclaurin. Lo sappiamo:
#Ci(x)=int cos(x)/x dx#

La tecnica classica qui è di elaborare una serie per #cos(x)/x# e quindi integrarlo.

Conosciamo la serie Maclaurin per il coseno, quindi possiamo semplicemente dividere tutti i termini per #x#:
#cos(x)/x=1/xsum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n)/((2n)!)=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n-1)/((2n)!)=#

#=1/x-x/(2!)+x^3/(4!)-x^5/(6!)...#

Per integrare ora questo, possiamo trattare il primo valore appositamente (poiché avrà un integrale di #ln(x)#) e possiamo usare il contrario regola del potere per il resto:
#int sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n-1)/((2n)!) dx=C+ln(x)+sum_(n=1)^oo(-1)^nx^(2n)/(2n(2n)!)#

#C# è la costante dell'integrazione e in precedenza lo avevamo scelto #gamma#, quindi dobbiamo fare lo stesso qui (altrimenti non si cancellerebbero):
#Ci(x)=gamma+ln(x)+sum_(n=1)^oo(-1)^nx^(2n)/(2n(2n)!)#

Ora possiamo usare questa formula per valutare #Ci(1)#. Ho scritto a piccolo programma Java per valutare le serie fino a #15# termini e ottenere un valore di:
#Ci(1)~~0.3374039#

Ora sottraggiamo questo da #sin(1)# per ottenere all'incirca:
#sin(1)-Ci(1)~~0.504#