Come si può usare la divisione sintetica per fattorizzare un polinomio?
Ecco un ragionevole esempio di pre-calcolo di divisione sintetica per illustrare il concetto.
Supponiamo che tu abbia:
#2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8#
Come ha detto Joan, c'è un aspetto di prova ed errore in questo.
Guarda tutti i coefficienti e pensa a cosa: a fattore comune potrebbe essere.
- Se non ottieni un residuo zero, il fattore non funziona davvero e dovresti riprovare.
- Se i possibili fattori sono tutti esauriti, forse non è determinabile.
Qui, i fattori che potresti provare includono quelli che corrispondono al coefficiente del quarto ordine (#2#) e il coefficiente dell'ordine di zeroth (#8#).
- #8# ha fattori di #1, 2, 4# e #8#.
- #2# ha fattori di #1# e #2#.
Quindi si potrebbe dire che i possibili fattori siano #pmp/q#, Dove #p# è costituito dai fattori del coefficiente di grado zeroth e #q# è costituito dai fattori del coefficiente di grado più alto.
Puoi quindi avere fattori di:
#pm[1, 2, 4, 8, 1/2]#
Quindi puoi provare tutti questi (#2/2#, #4/2# e #8/2# sono duplicati). Ricorda che se #-a# viene utilizzato come ciò che è scritto nel processo di divisione sintetica nell'angolo sinistro, a cui corrisponde #x+a#.
Noi useremo #-1# Qui. Tendo a provare #1# e #-1# prima di tutto, aumenta di valore e prova le frazioni per ultime.
#ul(-1|)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
Abbassa il #2#e moltiplicare per #-1# ottenere #-2#.
#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "" "" "" "" "" "" ")#
#" "" "color(white)(.)2#
aggiungere #-3# e #-2#, quindi moltiplica il risultante #-5# by #-1# nuovamente.
#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "" "" "" "" "" ")#
#" "" "color(white)(.)2" "-5#
Ripeti fino a quando non hai finito.
aggiungere #-3# e #-2#, quindi moltiplica il risultante #-1# by #-1# nuovamente.
#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "color(white)(.)" "0color(white)(.)" "-3" ")#
#" "" "color(white)(.)2" "-5" "" "0" "" "3" "" "5#
La tua risposta qui sembra essere questa, dove 2 corrisponde #2x^3#, poiché hai diviso un polinomio del quarto ordine per un polinomio del primo ordine.
Quindi, un modo per esprimere il risultato è:
#(2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8)/(x+1)#
#= color(blue)(overbrace(2x^3 - 5x^2 + 0x + 3)^"Quotient Term" + overbrace(5/(x+1))^"Remainder Term")#
where the #5/(x+1)# was written by saying that the last value below the horizontal bar (below #-2, 5, 0, -3#), being #5#, is divided by the #x pm a# equation such that #x pm a = 0#. So, #x+1# indicates that the factor we have just used is #-1#.
(Naturalmente, se il resto è #0#, non hai la frazione rimanente alla fine.)