Come si semplifica # ((2n)!) / (N!) #?

Mentre non c'è un semplificazione of #((2n)!)/(n!)#, ci sono altri modi per esprimerlo. Per esempio

#((2n)!)/(n!) = prod_(k=0)^(n-1)(2n-k) = (2n)(2n-1)...(n+1)#

Ciò deriva direttamente dalla definizione della funzione fattoriale e dalla cancellazione di fattori comuni dal numeratore e dal denominatore.

#((2n)!)/(n!) = 2^nprod_(k=0)^(n-1)(2k+1) = 2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

Una breve prova dell'identità:
#((2n)!)/(n!) = 1/(n!)(1*2*3*...*2n)#

#=1/(n!)*(2*4*6*...*2n) (1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)(1*2)(2*2)(3*2)...(n*2)(1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)(1*2*3*...*n)2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)n!*2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

#=2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

Quale forma è meglio usare dipende dalla situazione, tuttavia la forma data di

#((2n)!)/(n!)#

è il più conciso.