Come si semplifica #cos (2 tan ^ -1 x) #?
Risposta:
Utilizzare la formula a doppio angolo per rimuovere il coefficiente all'interno del cos, quindi riorganizzare le definizioni di trigger standard per far corrispondere la funzione di trigger alla funzione di trigger inversa all'interno della staffa
Spiegazione:
Richiama la formula a doppio angolo:
#cos2theta=1-2sin^2theta#
Poi #cos(2arctanx)=1-2sin^2arctanx#. NB Ho scritto "arctan" qui anziché "#tan^(-1)#"perché la combinazione di esponenti che significa inversione di poteri e funzioni è potenzialmente confusa.
Quindi ora abbiamo una funzione di attivazione di una funzione di attivazione inversa. Se possiamo esprimere il nostro #sin# in termini di #tan#, questo verrà annullato immediatamente.
Per definizione, #tantheta=(sintheta)/(costheta)=(sintheta)/sqrt(1-sin^2theta)#, Così
#tan^2theta(1-sin^2theta)=sin^2theta#
#tan^2theta=sin^2theta(1+tan^2theta)#
#sin^2theta=tan^2theta/(1+tan^2theta)#
Per definizione, #tanarctanx=x#, Così #1-2sin^2arctanx# diventa #1-(2x^2)/(1+x^2)#. Mettendo questo sopra un comune denominatore fa #(1-x^2)/(1+x^2)#.
So
#cos(2arctanx)=(1-x^2)/(1+x^2)#.