Come si semplifica $sin ({tan}^{- 1} (x))$ $sin (tan ^ -1 (x))$ ?

Risposta:

$sin (arctan (x)) = \frac{| x |}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $sin(arctan(x)) = |x|/sqrt(x^2+1)$

Spiegazione:

Sapendo che

${sin}^{2} (θ) + {cos}^{2} (θ) = 1$ $sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1$

Dividiamo entrambe le parti per ${sin}^{2} (θ)$ $sin^2(theta)$ così abbiamo

$1 + {cot}^{2} (θ) = {csc}^{2} (θ)$ $1 + cot^2(theta) = csc^2(theta)$

oro,

$1 + \frac{1}{{tan}^{2} (θ)} = \frac{1}{{sin}^{2} (θ)}$ $1 + 1/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)$

Prendendo il minimo comune multiplo che abbiamo

$\frac{{tan}^{2} (θ) + 1}{{tan}^{2} (θ)} = \frac{1}{{sin}^{2} (θ)}$ $(tan^2(theta) + 1)/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)$

Invertendo entrambe le parti che abbiamo

${sin}^{2} (θ) = \frac{{tan}^{2} (θ)}{{tan}^{2} (θ) + 1}$ $sin^2(theta) = tan^2(theta)/(tan^2(theta) + 1)$

Quindi lo diciamo $θ = arctan (x)$ $theta = arctan(x)$

${sin}^{2} (arctan (x)) = \frac{{tan}^{2} (arctan (x))}{{tan}^{2} (arctan (x)) + 1}$ $sin^2(arctan(x)) = tan^2(arctan(x))/(tan^2(arctan(x)) + 1)$

Sapendo che $tan (arctan (x)) = x$ $tan(arctan(x)) = x$

${sin}^{2} (arctan (x)) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ $sin^2(arctan(x)) = x^2/(x^2 + 1)$

Quindi prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati

$sin (arctan (x)) = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}} = \pm \frac{| x |}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $sin(arctan(x)) = +-sqrt(x^2/(x^2+1)) = +-|x|/sqrt(x^2+1)$

Controllando l'intervallo dell'arctangente, vediamo che durante esso il seno è sempre positivo, quindi abbiamo

$sin (arctan (x)) = \frac{| x |}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $sin(arctan(x)) = |x|/sqrt(x^2+1)$

Come si semplifica sin(tan−1(x))sin (tan ^ -1 (x)) ?

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Come si semplifica $sin ({tan}^{- 1} (x))$ $sin (tan ^ -1 (x))$ ?