Come si semplifica #sin (tan ^ -1 (x)) #?

Sapendo che

#sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1#

Dividiamo entrambe le parti per #sin^2(theta)# così abbiamo

#1 + cot^2(theta) = csc^2(theta)#

oro,

#1 + 1/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)#

Prendendo il minimo comune multiplo che abbiamo

#(tan^2(theta) + 1)/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)#

Invertendo entrambe le parti che abbiamo

#sin^2(theta) = tan^2(theta)/(tan^2(theta) + 1)#

Quindi lo diciamo #theta = arctan(x)#

#sin^2(arctan(x)) = tan^2(arctan(x))/(tan^2(arctan(x)) + 1)#

Sapendo che #tan(arctan(x)) = x#

#sin^2(arctan(x)) = x^2/(x^2 + 1)#

Quindi prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati

#sin(arctan(x)) = +-sqrt(x^2/(x^2+1)) = +-|x|/sqrt(x^2+1)#

Controllando l'intervallo dell'arctangente, vediamo che durante esso il seno è sempre positivo, quindi abbiamo

#sin(arctan(x)) = |x|/sqrt(x^2+1)#