Come si trova il punto sulla linea # y = 4x + 7 # che è il più vicino al punto (0, -3)?

La distanza tra e il punto arbitrario #(x,y)=(x,4x+7)# su questa linea e il punto #(0,-3)# is #sqrt{(x-0)^2+(4x+7-(-3))^2}=sqrt{17x^{2}+80x+100}#.

La minimizzazione della distanza al quadrato avverrà allo stesso valore di #x# dove la distanza è ridotta al minimo, pertanto, possiamo concentrarci sulla riduzione al minimo della funzione #f(x)=17x^{2}+80x+100#. Il suo derivato è #f'(x)=34x+80#, che ha una radice in #x=-80/34=-40/17approx -2.353#.

Che questo valore di #x# dà una distanza minima è chiara poiché il grafico di #f(x)# è una parabola che si apre verso l'alto, sebbene si possa anche notare che la seconda derivata è #f''(x)=34>0# per tutti #x#, facendo il grafico di #f# concavo.

quando #x=-40/17#, #y=4cdot(-40/17)+7=frac{119-160}{17}=-41/17#. Da qui il punto #(x,y)=(-40/17,-41/17)# è il punto sulla linea #y=4x+7# quello è il più vicino al punto #(0,-3)#. La stessa distanza minima è #sqrt{f(-40/17)}=sqrt{100/17}=10/sqrt(17)=frac{10sqrt{17)}{17} approx 2.425#.

Ecco una foto per questa situazione. Il segmento di linea interseca la linea data ad angolo retto.