Come si trova il volume del solido nel primo ottante, che è delimitato dai piani di coordinate, il cilindro # x ^ 2 + y ^ 2 = 9 # e il piano x + z = 9?

I grafici dell'aereo #x+z=9# e la superficie #x^2+y^2=9# sono come segue:

Possiamo un triplo integrale per rappresentare il volume come segue:

# v= int int int_R dV#

where

#R={ (x,y,z) | x,y,z>0; x^2+y^2<=9; z<9-x }#

E così possiamo impostare un doppio integrale come segue:

# v= int_a^b int_c^d f(z) dx dy #
# = int_a^b int_c^d (9-x) dx dy #

Determiniamo ora i limiti di integrazione esaminando una sezione trasversale in #xy#piano che è un quarto di cerchio di raggio 3 centrato sul #O#e quindi abbiamo:

# 0 le x le sqrt(9-y^2)# and # 0 le y le 3#

Quindi il nostro integrale per il volume è:

# v= int_0^3 int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx dy #

Con l'integrale nidificato valutiamo da lui al rovescio, quindi affrontiamo l'integrale interno;

# int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx = [9x-1/2x^2]_0^(sqrt(9-y^2)) #
# " " = 9(sqrt(9-y^2))-1/2(sqrt(9-y^2))^2 #
# " " = 9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2) #

E così il nostro doppio integrale ora diventa:

# v= int_0^3 {9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2) } dy #

E per questo integrale possiamo dividere in due parti

# I_1 = int_0^3 9sqrt(9-y^2) dy# and # I_2 = int_0^3 -1/2(9-y^2) dy #

Possiamo solo valutare il secondo integrale per ottenere:

# I_2 = -1/2[ 9y-1/3y^3 ]_0^3 #
# = (-1/2){(9)(3)-1/3(27) - 0} #
# = -9 #

E per il primo integrale usiamo la sostituzione #y=3sinu#, che dà il risultato:

# I_1 = 9 int_0^3 sqrt(9-y^2) dy #
# = 9 [ysqrt(9-y^2)/2 + 9/2 arcsin(y/3) ]_0^3 #
# = 9 {(0+9/2pi/2) - (0+0) } #
# = (81pi)/4 #

NOTA - È inoltre possibile osservare che l'integrale sopra riportato #int_0^3 sqrt(9-y^2) dy# rappresenta l'area di un quarto di cerchio di raggio #3#, che quindi ha un'area, #A=1/4pi(3^2) = (9pi)/4# che dà ancora #I_2=9A = (81pi)/4#.

La combinazione dei nostri risultati fornisce il volume totale come:

# v= (81pi)/4 - 9#
# = (81pi)/4 - 9#
# = 54.617251 ... #