Come si trova la lunghezza di una curva nel calcolo?

Usiamo le coordinate cartesiane per questa spiegazione.

Se consideriamo una curva arbitraria definita come #y = f(x)# e sono interessati all'intervallo #x in [a,b]#, possiamo approssimare la lunghezza della curva usando segmenti di linea molto piccoli.

Considera un punto sulla curva #P_i#. Possiamo calcolare la distanza di un segmento di linea trovando la differenza tra due punti consecutivi sulla linea #|P_i - P_(i-1)|# for #i in [1, n]# where #n# è il numero di punti che abbiamo definito sulla curva.

Ciò significa che la lunghezza totale approssimativa della curva è semplicemente una somma di tutti questi segmenti di linea:

#L approx sum_(i=1)^n |P_i - P_(i-1)|#

Se vogliamo la lunghezza esatta della curva, possiamo ipotizzare che tutti i punti siano separati in modo infinitesimale. Ora prendiamo il limite della nostra somma come #n -> oo#.

#L = lim_(n-> oo) sum_(i=1)^n |P_i - P_(i-1)|#

Dal momento che stiamo lavorando in #xy#-piano, possiamo ridefinire la nostra distanza tra i punti per assumere la definizione tipica di distanza euclidea.

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt((y_i-y_(i-1))^2 + (x_i-x_(i-1))^2)= sqrt(delta y^2 + delta x^2)#

Ora possiamo applicare il teorema del valore medio, che afferma che esiste un punto #x_i^'# che giace nell'intervallo #[x_(i-1),x_i]# così

#=>f(x_i)-f(x_(i-1)) = f'(x_i^') (x_i - x_(i-1))#

che potremmo anche scrivere (usando la notazione che stiamo usando) come

#=>delta y = f'(x_i^')delta x#

Applicare questo significa che ora abbiamo

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt([f'(x_i^') delta x]^2 + delta x^2)#

Semplificare un po 'questa espressione ci dà

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt([f'(x_i^')]^2 delta x^2 + delta x^2)#

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt(([f'(x_i^')]^2 + 1)delta x^2)#

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt((1+[f'(x_i^')]^2)) delta x#

Ora possiamo usare questa nuova definizione di distanza per i nostri punti nella nostra sommatoria.

#L = lim_(n-> oo) sum_(i=1)^n sqrt((1+[f'(x_i^')]^2)) delta x#

Le somme sono belle, ma gli integrali sono più belli per circostanze continue! È facile scrivere questo come integrale definito poiché sia ​​gli integrali che le somme sono strumenti di "somma". Nell'integrale, possiamo anche eliminare il nostro indice di somma.

#L = int_a^b sqrt((1+[f'(x)]^2)) delta x#

Scrivere questo un po 'più tipicamente produce

#color(blue)(L = int_a^b sqrt((1+((dy)/(dx))^2)) dx)#

Siamo arrivati ​​al nostro risultato! In generale, la lunghezza è generalmente definita per un differenziale di lunghezza d'arco #ds#

#L = int_a^b ds#

where #ds# è definito di conseguenza per qualsiasi tipo di sistema di coordinate in cui stai lavorando. Tuttavia, volevo che la spiegazione fosse più chiara, quindi ho semplicemente scelto quelli cartesiani per semplicità. È possibile utilizzare anche coordinate polari o coordinate sferiche semplicemente effettuando le sostituzioni necessarie.

In generale, è necessario prendere la derivata della funzione che definisce la curva da sostituire nell'integrale. Quindi il trucco è trovare un modo (di solito) per cercare di ottenere un quadrato perfetto all'interno della radice quadrata per semplificare l'integrale e trovare la soluzione. Varia per ogni tipo di curva.

Fammi sapere se hai ulteriori domande nei commenti!