Come si trova la pendenza della linea tangente al grafico in un dato punto e si fornisce un'equazione della linea tangente #f (x) = 3 / 2x # in (1, 3/2)?
Risposta:
La risposta può sembrare strana rispetto a ciò che sappiamo delle linee tangenti ai cerchi e alle altre curve. Vedi sotto.
Spiegazione:
Questa funzione è una funzione lineare. Il suo grafico è la linea retta #y = 3/2x#.
La linea tangente può essere descritta come limite, mentre si avvicina un secondo punto #(1,3/2)#, della pendenza della linea secante.
Per ogni punto sul grafico, la linea di secante è la stessa del grafico della funzione originale, #y = 3/2x#.
Pertanto, la linea tangente è la stessa, #y = 3/2x#.
Se vogliamo i dettagli:
La pendenza della linea tangente è data da
#lim_(hrarr0)(f(1+h)-f(1))/h = lim_(hrarr0)(3/2(1+h)-3/2(1))/h#
# = lim_(hrarr0)(3/2cancel(h))/cancel(h)#
# = 3/2#
La linea attraverso il punto #(x_1,y_1)# con slop #m=3/2# può essere scritto
#y-y_1 = m(x-x_1)#
Quindi abbiamo
#y-3/2 = 3/2(x-1)# Risolvere per #y# per ottenere la forma di intercettazione della pendenza, otteniamo
#y = 3/2x#