Come si trova la rappresentazione della serie di potenze per la funzione #f (x) = 1 / ((1 + x) ^ 2) #?

By Serie binomiale,
#1/{(1+x)^2}=(1+x)^{-2}=sum_{n=0}^{infty}(-1)^n(n+1)x^n#

Rivediamo la serie binomiale.
#(1+x)^{alpha}=sum_{n=0}^{infty}C(alpha,n)x^n#,
where #C(alpha,n)# è un coefficiente binomiale definito da
#C(alpha,n)={alpha(alpha-1)(alpha-2)cdot cdots cdot(alpha-n+1)}/{n!}#

Cerchiamo prima i coefficienti binomiali per #f(x)=(1+x)^{-2}#.
Dal #alpha=-2#, il suo coefficiente binomiale è simile
#C(-2,n)={-2(-2-1)(-2-2)cdot cdots cdot[-2-(n-1)]}/{n!}#
#={-2(-3)(-4)cdots[-(n+1)]}/{n!}#
prendendo in considerazione tutto #-#è nel numeratore,
#={(-1)^n[2cdot3cdot4cdot cdots cdot(n+1)]}/{n!}={(-1)^n(n+1)!}/{n!}#
dividendo il numeratore e il denominatore per #n!#,
#=(-1)^n(n+1)#

Quindi, abbiamo la serie binomiale
#1/{(1+x)^2}=sum_{n=0}^{infty}(-1)^n(n+1)x^n#.