Come si trova la superficie della parte del paraboloide circolare # z = x ^ 2 + y ^ 2 # che si trova all'interno del cilindro # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #?
Presumo le seguenti conoscenze; si prega di porre domande separate se una di queste non è già stata stabilita:
- Concetto di derivati parziali
- L'area di una superficie, #f(x,y)#, sopra una regione R del piano XY è data da #int int_R sqrt((f_x')^2 + (f_y')^2 +1) dx dy# where
#f_x'# e #f_y'# sono i derivati parziali di #f(x,y)# rispetto a #x# e #y# rispettivamente. - Nel convertire l'integrale di una funzione in coordinate rettangolari in una funzione in coordinate polari: #dx dy rarr (r) dr d theta#
If #z = f(x,y) = x^2 + y^2#
poi #f_x' = 2x# e #f_y'= 2y#
L'area della superficie sopra la regione definita da #x^2+y^2 = 1#è dato da
#S =int int_R sqrt(4x^2 + 4y^2 + 1) dx dy#
Convertire questo in coordinate polari (perché è più facile lavorare con la regione circolare usando coordinate polari)
#S = int_(theta = 0)^(2pi) int_(r=0)^1 (4 r^2+1)^(1/2) (r) dr d theta#
#= int_(theta=0)^(2pi) ((4r^2+1)^(3/2))/(12) |_(r=0)^1 d theta#
#= int_(theta=0)^(2pi) (5sqrt(5)-1)/(12) d theta#
#= (5sqrt(5) -1)/(12) theta |_(theta=0)^(2pi)#
#= (5sqrt(5)-1)/6 pi#