Come si trova l'area della regione delimitata dalla curva polare $r = 2-sin (theta)$ ?

La curva polare $r=2-sin theta$ , $0 le theta < 2pi$ Somiglia a questo.

inserisci qui la fonte dell'immagine

possiamo trovare la zona $A$ della regione chiusa può essere trovato da

$A=int_0^{2pi}int_0^{2-sin theta}r dr d theta={9pi}/2$

Valutiamo il doppio integrale sopra.

$A=int_0^{2pi}int_0^{2-sin theta}r dr d theta$

$=int_0^{2pi}[r^2/2]_0^{2-sin theta} d theta$

$=1/2int_0^{2pi}(2-sin theta)^2 d theta$

$=1/2int_0^{2pi}(4-4sin theta+ sin^2 theta) d theta$

by $sin^2 theta=1/2(1-cos 2theta)$ ,

$=1/2int_0^{2pi}(9/2-4sin theta-1/2cos2theta)d theta$

$=1/2[9/2theta+4cos theta-1/4sin2theta]_0^{2pi}$

$=1/2[9pi+4-0-(0+4-0)]={9pi}/2$

Come si trova l'area della regione delimitata dalla curva polare r = 2-sin (theta) r = 2-sin (theta) ?