Come si usa un integrale per trovare il volume di un toro solido?

Se il raggio della sua sezione trasversale circolare è #r#e il raggio del cerchio tracciato dal centro delle sezioni trasversali è #R#, quindi il volume del toro è #V=2pi^2r^2R#.

Diciamo che il toro si ottiene ruotando la regione circolare #x^2+(y-R)^2=r^2# sulla #x#-asse. Si noti che questa regione circolare è la regione tra le curve: #y=sqrt{r^2-x^2}+R# e #y=-sqrt{r^2-x^2}+R#.

Con il metodo Washer, il volume del solido di rivoluzione può essere espresso come:
#V=pi int_{-r}^r[(sqrt{r^2-x^2}+R)^2-(-sqrt{r^2-x^2}+R)^2]dx#,
che semplifica:
#V=4piRint_{-r}^r sqrt{r^2-x^2}dx#
Poiché l'integrale sopra è equivalente all'area di un semicerchio con raggio r, abbiamo
#V=4piRcdot1/2pi r^2=2pi^2r^2R#