Come si usa una funzione di massa di probabilità per calcolare la media e la varianza di una distribuzione discreta?

La funzione di massa di probabilità (o pmf, in breve) è una mappatura, che accetta tutti i possibili valori discreti che una variabile casuale potrebbe assumere e li mappa alle loro probabilità. Esempio rapido: se #X# è il risultato di un singolo tiro di dadi, quindi #X# potrebbe assumere i valori #{1,2,3,4,5,6},# ciascuno con uguale probabilità #1/6#. Il pmf per #X# sarebbe:

#p_X(x)={(1/6",", x in {1,2,3,4,5,6}),(0",","otherwise"):}#

Se stiamo lavorando solo con una variabile casuale, il pedice #X# viene spesso escluso, quindi scriviamo il pmf come #p(x)#.

In breve: #p(x)# è uguale a #P(X=x)#.

The significare #mu# (o valore atteso #E[X]#) di una variabile casuale #X# è la somma dei possibili valori ponderati per #X#; ponderato, cioè dalle rispettive probabilità. Se #S# è l'insieme di tutti i valori possibili per #X#, quindi la formula per la media è:

#mu =sum_(x in S) x*p(x)#.

Nel nostro esempio dall'alto, questo risulta essere

#mu = sum_(x=1)^6 x*p(x)#
#color(white)mu = 1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+...+6(1/6)#
#color(white)mu = 1/6(1+2+3+4+5+6)#
#color(white)mu = 1/6(21)#

#color(white)mu = 3.5#

The varianza #sigma^2# (o #"Var"[X]#) di una variabile casuale #X# è una misura del diffondere dei possibili valori. Per definizione, è il valore atteso della distanza quadrata tra #X# e #mu#:

#sigma^2 = E[(X-mu)^2]#

Con qualche semplice algebra e teoria della probabilità, questo diventa

#sigma^2 = E[X^2] - mu^2#

Abbiamo già una formula per #mu" "(E[X]),# quindi ora abbiamo solo bisogno di una formula per #E[X^2].# Questo è il valore atteso di quadrato variabile casuale, quindi la nostra formula per questo è la somma di quadrato valori possibili per #X#, ancora una volta, ponderato dalle probabilità del #x#-valori:

#E[X^2]=sum_(x in S) x^2*p(x)#

Usando questo, la nostra formula per la varianza di #X# diventa

#sigma^2 =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - mu^2#
#color(white)(sigma^2) =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - [sum_(x in S) x*p(x)]^2#

Per il nostro esempio, #mu# è stato calcolato per essere #3.5,# quindi lo usiamo per il nostro ultimo termine

#sigma^2 =sum_(x=1)^6 [x^2*p(x)] - mu^2#
#color(white)(sigma^2) =[1^2(1/6)+2^2(1/6)+...+6^2(1/6)] - (3.5)^2#
#color(white)(sigma^2) =1/6(1+4+9+16+25+36)" "-" "(3.5)^2#
#color(white)(sigma^2) =1/6(91)" "-" "12.25#
#color(white)(sigma^2) ~~ 15.167-12.25#
#color(white)(sigma^2) = 2.917#