Come si verifica l'identità $(csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1$ ?

Abbiamo: $(csc(theta) - cot(theta)) (csc(theta) + cot(theta))$

Espandiamo le parentesi:

$= (csc(theta)) (csc(theta)) + (csc(theta)) (cot(theta)) + ( - cot(theta) (csc(theta)) + (- cot(theta)) (cot(theta))$

$= csc^(2)(theta) + csc(theta) cot (theta) - csc(theta) cot(theta) - cot^(2)(theta)$

$csc^(2)(theta) - cot^(2)(theta)$

Quindi, applichiamo due identità trigonometriche standard; $csc(theta) = (1) / (sin(theta))$ e $cot(theta) = (cos(theta)) / (sin(theta))$ :

$= ((1) / (sin(theta)))^(2) - ((cos(theta)) / (sin(theta)))^(2)$

$= (1) / (sin^(2)(theta)) - (cos^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))$

$= (1 - cos^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))$

Una delle identità di Pitagora è $cos^(2)(theta) + sin^(2)(theta) = 1$ .

Possiamo riorganizzarlo per ottenere:

$=> sin^(2)(theta) = 1 - cos^(2)(theta)$

Applichiamo questa identità riorganizzata alla nostra prova:

$= (sin^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))$

$=1$ (QED)

Come si verifica l'identità (csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1 (csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1 ?