Come si verifica l'identità # (csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1 #?

Abbiamo: #(csc(theta) - cot(theta)) (csc(theta) + cot(theta))#

Espandiamo le parentesi:

#= (csc(theta)) (csc(theta)) + (csc(theta)) (cot(theta)) + ( - cot(theta) (csc(theta)) + (- cot(theta)) (cot(theta))#

#= csc^(2)(theta) + csc(theta) cot (theta) - csc(theta) cot(theta) - cot^(2)(theta)#

#csc^(2)(theta) - cot^(2)(theta)#

Quindi, applichiamo due identità trigonometriche standard; #csc(theta) = (1) / (sin(theta))# e #cot(theta) = (cos(theta)) / (sin(theta))#:

#= ((1) / (sin(theta)))^(2) - ((cos(theta)) / (sin(theta)))^(2)#

#= (1) / (sin^(2)(theta)) - (cos^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))#

#= (1 - cos^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))#

Una delle identità di Pitagora è #cos^(2)(theta) + sin^(2)(theta) = 1#.

Possiamo riorganizzarlo per ottenere:

#=> sin^(2)(theta) = 1 - cos^(2)(theta)#

Applichiamo questa identità riorganizzata alla nostra prova:

#= (sin^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))#

#=1# (QED)