Come testate la serie #Sigma 1 / (n!) # From n is # [0, oo) # per la convergenza?

Useremo il test del rapporto. Il test del rapporto afferma che il per la serie #suma_n#, possiamo prendere una decisione sulla sua convergenza prendendo #L=lim_(ararroo)abs(a_(n+1)/a_n)#. Esamina il valore di #L#:

• If #L>1#, poi #suma_n# è divergente.
• If #L=1#, quindi il test è inconcludente.
• If #L<1#, poi #suma_n# è (assolutamente) convergente.

Quindi per la serie #sum_(n=0)^oo1/(n!)# lasciamo #a_n=1/(n!)#. Quindi lo vediamo

#L=lim_(nrarroo)abs((1/((n+1)!))/(1/(n!)))=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)!))#

Questo richiede un piccolo richiamo al fattoriale. La definizione di fattoriale afferma che #(n+1)! =(n+1)(n!)#, Simile a come #7! = 7*6!#. Così:

#L=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)(n!)))=lim_(nrarroo)abs(1/(n+1))=0#

Dal #L=0# e quindi #L<1#, Lo vediamo #suma_n=sum_(n=0)^oo1/(n!)# è convergente attraverso il test del rapporto.