Come trovare l'integrale di # 1 / cosx #?

Devi usare la regola bioche

Règle de Bioche (in francese)

Non lo trovo in inglese, ma credetemi, è MOLTO utile.

Le regole dicono che devi farlo #t = tan(x/2)#

#cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2) => 1/cos(x) = (1+t^2)/(1-t^2)#

#dx = 2/(1+t^2) dt#

Quindi ora abbiamo:

#int(1+t^2)/(1-t^2)*2/(1+t^2) dt = 2int1/(1-t^2)#

#1/(1-t^2)# è esattamente il derivato di #arctanh(t)#

Come ricordare facilmente questo derivato?

#theta = arctanh(t)#

#=>tanh(theta) = t#

Derivare entrambi i lati

#=>d theta(1-tanh^2(theta)) = 1#

#=>d theta =1/(1-tanh^2(theta))#

ma #tanh (theta)= t#

Infine :

#=>d theta = 1/(1-t^2)#

Puoi farlo con arccos, arcsin, arctan ... usando pythagore

Quindi l'integrale è:

#=> [arctanh(t)]+C#

Sostituzione per #t = tan(1/2x)#

#=>[arctanh(tan(1/2x))]+C#