Come trovare un'espressione per #sin (x) # in termini di # e ^ (ix) # e # e ^ (ix) #?

Inizia dalla serie MacLaurin della funzione esponenziale:

#e^x = sum_(n=0)^oo x^n/(n!)#

Sun:

#e^(ix) = sum_(n=0)^oo (ix)^n/(n!) = sum_(n=0)^oo i^nx^n/(n!) #

Separare ora i termini per #n# anche e #n# strano e let #n=2k# nel primo caso, #n= 2k+1# nel secondo:

#e^(ix) = sum_(k=0)^oo i^(2k) x^(2k)/((2k)!) + sum_(k=0)^oo i^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!) #

Nota ora che:

#i^(2k) = (i^2)^k = (-1)^k#

#i^(2k+1) = i*i^(2k) = i*(-1)^k#

Sun:

#e^(ix) = sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k)/((2k)!) + isum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/((2k+1)!) #

e possiamo riconoscere le espansioni di MacLaurin di #cosx# e #sinx#:

#e^(ix) = cosx +i sinx#

che è la formula di Eulero.

Considerando che #cosx# è una funzione uniforme e #sinx# e la funzione dispari quindi abbiamo:

#e^(-ix) = cos(-x) + i sin(-x) = cosx-i sinx#

poi:

#e^(ix) - e^(-ix) = 2i sinx#

e infine:

#sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)#