Come trovate le equazioni per il piano tangente alla superficie # x ^ 2 + 2z ^ 2 = y ^ 2 # attraverso # (1, 3, -2) #?

Innanzitutto riorganizziamo l'equazione della superficie nella forma # f(x,y,z)=0#

# x^2+2z^2 = y^2 #
# :. x^2 - y^2 + 2z^2 = 0 #

E quindi abbiamo la nostra funzione:

# f(x,y,z) = x^2 - y^2 + 2z^2 #

Per trovare il normale in un determinato punto nello spazio vettoriale, utilizziamo l'operatore Del o gradiente:

# grad f(x,y,z) = (partial f)/(partial x) hat(i) + (partial f)/(partial y) hat(j) + (partial f)/(partial z) hat(k) #

ricordate quando differenziamo parzialmente che differenziamo la variabile in questione trattando le altre variabili come costanti. E così:

# grad f = ((partial)/(partial x) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(i) + #
# " " ((partial)/(partial y) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(j) + #
# " " ((partial)/(partial z) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(k) #
# " "= 2xhat(i) - 2yhat(j) + 4zhat(k) #

Quindi per il punto particolare #(1,3,-2)# il vettore normale alla superficie è dato da:

# grad f(1,3,-2) = 2hat(i) -6hat(j) -8hat(k) #

Quindi il piano tangente alla superficie # x^2+2z^2 = y^2 # ha questo vettore normale e passa anche attraverso il punto #(1,3,-2)#. Avrà quindi un'equazione vettoriale del modulo:

# vec r * vec n = vec a * vec n #

Dove #vec r=((x),(y),(z))#; #vec n=( (2), (-6), (-8) )#, è il vettore normale e #a# è qualsiasi punto nel piano

Quindi, l'equazione del piano tangente è:

# ((x),(y),(z)) * ( (2), (-6),(-8) ) = ((1),(3),(-2)) * ( (2), (-6),(-8) ) #
# :. (x)(2) + (y)(-6) + (z)(-2) = (1)(2) + (3)(-6) + (-2)(-8) #
# :. 2x-6y-8z = 2-18+16 #
# :. 2x-6y-8z = 0 #
# :. x-3y-4z = 0 #

Possiamo confermarlo graficamente: ecco la superficie con il vettore normale:

ed ecco la superficie con il piano tangente e il vettore normale: