Come trovi il volume limitato da $y = ln (x)$ $y = ln (x)$ e le linee y = 0, x = 2 ruotano attorno all'asse y?

Risposta:

Per la soluzione con gusci cilindrici, vedi sotto.

Spiegazione:

Ecco un'immagine della regione e una fetta rappresentativa presa parallelamente all'asse di rotazione.

inserisci qui la fonte dell'immagine

La sezione viene presa ad un valore di $x$ $x$ e ha spessore $d x$ $dx$ . Quindi le nostre funzioni dovranno essere funzioni di $x$ $x$

Girando sul $y$ $y$ l'asse produrrà un guscio cilindrico.

Il volume di questa shell rappresentativa è

$2 π r h thickness$ $2pirh " thickness"$

Il raggio è mostrato come una linea nera tratteggiata nell'immagine e ha lunghezza $r = x$ $r = x$

L'altezza del guscio sarà eccezionale $y$ $y$ valore meno il minore $y$ $y$ valore. Dal momento che il minore $y$ $y$ valore è $0$ $0$ , noi abbiamo $h = ln x$ $h = lnx$
Come già accennato, lo spessore è $d x$ $dx$

Il volume rappresentativo è
$2 π x ln x d x$ $2pixlnxdx$

$x$ $x$ varia da $1$ $1$ a $2$ $2$ , quindi il solido ha volume

$V = \int_{1}^{2} 2 π x ln x d x = 2 π \int_{1}^{2} x ln x d x$ $V = int_1^2 2pixlnx dx = 2 pi int_1^2 xlnx dx$

Utilizza integrazione per parti ottenere

$= 2 π (2 ln 2 - \frac{3}{4})$ $= 2pi(2ln2-3/4)$

(Riscrivi la risposta a piacere.)

Come trovi il volume limitato da y=ln(x) y = ln (x) e le linee y = 0, x = 2 ruotano attorno all'asse y?

Risposta:

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