Come trovi la radice quadrata di 1728?

Per trovare la radice quadrata di #1728#, prima trova la sua scomposizione in fattori primi:

#color(white)(000)1728#
#color(white)(000)"/"color(white)(00)""#
#color(white)(00)2color(white)(000)864#
#color(white)(000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(00000)2color(white)(00)432#
#color(white)(00000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(0000000)2color(white)(00)216#
#color(white)(0000000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(000000000)2color(white)(00)108#
#color(white)(000000000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(00000000000)2color(white)(00)54#
#color(white)(0000000000000)"/"color(white)(00)""#
#color(white)(000000000000)2color(white)(000)27#
#color(white)(000000000000000)"/"color(white)(00)""#
#color(white)(00000000000000)3color(white)(0000)9#
#color(white)(000000000000000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(00000000000000000)3color(white)(000)3#

Così:

#1728 = 2^6 * 3^3#

e:

#sqrt(1728) = sqrt(2^6 * 3^3) = sqrt((2^3 * 3)^2 * 3) = 24sqrt(3)#

Nota che come qualsiasi numero positivo, #1728# in realtà ha due radici quadrate:

#sqrt(1728) = 24sqrt(3)" "# and #" "-sqrt(1728) = -24sqrt(3)#

Quando diciamo "la" radice quadrata, intendiamo normalmente il principale positivo.

Si noti che i poteri in #2^6# e #3^3# sono entrambi multipli di #3#, Così #1728 = 2^6 * 3^3# ha una radice cubica esatta #2^2 * 3 = 12#

approssimazioni

Se vogliamo approssimare il valore di #sqrt(1728) = 24sqrt(3)# con una buona approssimazione razionale, allora possiamo procedere come segue ...

Nota che:

#7^2 = 49 = 48+1 = 3 * 4^2 + 1#

Da qui una buona prima approssimazione per #sqrt(3)# is #7/4#.

Considera il quadratico con zeri #7+4sqrt(3)# e #7-4sqrt(3)#, vale a dire:

#(x-7-4sqrt(3))(x-7+4sqrt(3)) = x^2-14x+1#

Da questo possiamo definire ricorsivamente una sequenza intera:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 14a_(n+1)-a_n) :}#

I primi termini sono:

#0, 1, 14, 195, 2716, 37829,...#

Il rapporto tra termini successivi converge rapidamente verso #7+4sqrt(3)#.

Quindi:

#sqrt(1728) = 6 * 4sqrt(3) ~~ 6*(37829/2716-7) = 6 * 18817/2716 = 56451/1358 ~~ 41.5692194#