Come trovi la radice quadrata di 193?

#193# è un numero primo, quindi la sua radice quadrata non ha una forma più semplice. È un numero irrazionale un po 'meno di #14# (da #14^2 = 196#). Cioè, non è espressibile nella forma #p/q# per qualsiasi numero intero #p, q#.

Possiamo trovare approssimazioni ad esso usando una specie di metodo di Newton Raphson.

Dato un numero #n# e un'approssimazione iniziale #a_0# a #sqrt(n)#, ricava approssimazioni progressivamente più accurate utilizzando la formula:

#a_(i+1) = (a_i^2 + n)/(2a_i)#

Mi piace riformularlo leggermente usando numeri interi #p_i# e #q_i# where #a_i = p_i/q_i#. Quindi utilizzare queste formule per iterare:

#p_(i+1) = p_i^2+n q_i^2#

#q_(i+1) = 2p_i q_i#

Se il risultato #p_(i+1)# e #q_(i+1)# hanno un fattore comune, quindi dividi entrambi per quel fattore prima della successiva iterazione.

lasciare #n=193#, #p_0 = 14# e #q_0 = 1#

Quindi:

#p_1 = p_0^2+n q_0^2 = 14^2+193*1^2 = 196+193 = 389#

#q_1 = 2p_0 q_0 = 2*14+1 = 28#

Se ci fermassimo qui, avremmo:

#sqrt(193) ~~ 389/28 = 13.89bar(285714)#

Prossima iterazione:

#p_2 = p_1^2 = n q_1^2 = 389^2 + 193*28^2 = 151321+151312 = 302633#

#q_2 = 2p_1 q_1 = 2*389*28 = 21784#

Così:

#sqrt(193) ~~ 302633/21784 ~~ 13.892444#

In realtà:

#sqrt(193) ~~ 13.8924439894498#

ma come puoi vedere questo metodo converge abbastanza rapidamente.