Come trovi l'integrale di #sin (x ^ (1/2)) dx #?

Innanzitutto, lascia #u = x^(1/2)#. Dal regola del potere, #dx = 2x^(1/2) du = 2udu#.

Sostituendo #u# nell'integrale, abbiamo:

#intsin(x^(1/2))dx = 2intusin(u)du#

Possiamo risolvere questo entro integrazione per parti, che afferma che

#int fg' = fg - int f'g#

Nel nostro caso, #f = u => f' = 1# e # g' = sin(u) => g = -cos(u)#.

#int usin(u)du = -ucos(u) - int-cos(u)du=#

#= -ucos(u) +intcos(u)du =
-ucos(u)+sin(u) + C#

Perciò,

#2intusin(u)du = 2sin(u)-2ucos(u) + 2C#

Una costante volte un'altra costante è ancora una costante, che chiameremo #c#.

#2C = c#

#2intusin(u)du = 2sin(u)-2ucos(u)+c#

Sostituendo #u=x^(1/2)# indietro, abbiamo

#color(red)(intsin(x^(1/2))dx = 2sin(x^(1/2)) - 2x^(1/2)cos(x^(1/2)) +c)#.