Cos'è una rappresentazione della serie di potenze per #f (x) = ln (1 + x) # e qual è il suo raggio di convergenza?

Inizia dalla somma del serie geometrica:

#sum_(n=0)^oo q^n = 1/(1-q)#

convergendo per #abs q < 1#.

lasciare # x = -q # avere:

#sum_(n=0)^oo (-1)^nx^n = 1/(1+x)#

All'interno dell'intervallo di convergenza #x in (-1,1)# possiamo integrare la serie termine per termine:

#int_0^x dt/(1+t) = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^ndt#

e ottenere una serie con lo stesso raggio di convergenza #R=1#:

#ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)#