Dato un triangolo isoscele ad angolo retto con il lato $s$ $s$ e una costruzione del rettangolo inscritto MNOP tale che PO // MN. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo MNOP in termini di $s$ $s$ ?

Risposta:

$p = \frac{3}{\sqrt{2}} s$ $p = 3/sqrt(2)s$

$A = \frac{s^{2}}{4}$ $A = s^2/4$

Spiegazione:

In primo luogo, troveremo $M P$ $MP$ .

Perché $M N O P$ $MNOP$ è un rettangolo, lo sappiamo $¯ ¯¯¯¯¯ ¯ M P$ $bar(MP)$ è parallelo a $¯ ¯¯¯¯ ¯ O N$ $bar(ON)$ e quindi a $¯ ¯¯¯¯ ¯ B C$ $bar(BC)$ . Questo implica che $∠ A M P = ∠ A B C$ $angleAMP = angleABC$ e $∠ A P M = ∠ A C B$ $angleAPM = angle ACB$ , che significa $△ A M P$ $triangleAMP$ è simile $△ A B C$ $triangleABC$ , e così anche gli isosceli.

As $A M = M B$ $AM = MB$ e $A M + M B = s$ $AM+MB = s$ , lo sappiamo $s = 2 A M$ $s = 2AM$ , o $A M = \frac{s}{2}$ $AM = s/2$ . Perché $△ A M P$ $triangleAMP$ è isoscele, anche questo ci dà $A P = \frac{s}{2}$ $AP = s/2$ . Usando il teorema di Pitagora, Poi abbiamo $M P^{2} = A M^{2} + A P^{2} = 2 {(\frac{s}{2})}^{2} = \frac{s^{2}}{2}$ $MP^2 = AM^2 + AP^2 = 2(s/2)^2 = s^2/2$ , e così $M P = \frac{s}{\sqrt{2}}$ $MP = s/sqrt(2)$ .

Successivamente, troveremo $M N$ $MN$ .

Perché $M N O P$ $MNOP$ è un rettangolo, lo sappiamo $∠ M N O = 90^{\circ}$ $angleMNO=90^@$ . Quindi, come $∠ B N M$ $angleBNM$ è il suo complimento, abbiamo anche $∠ B N M = 90^{\circ}$ $angleBNM = 90^@$ .

Come sono gli angoli non retti di un triangolo rettangolo isoscele $45^{\circ}$ $45^@$ , sappiamo $∠ A B C = 45^{\circ}$ $angleABC = 45^@$ , sottintendendo $∠ M B N = 45^{\circ}$ $angleMBN = 45^@$ . così $△ B N M$ $triangleBNM$ è anche un triangolo rettangolo isoscele, e così $B N = N M$ $BN = NM$ .

Applicando di nuovo il teorema di Pitagora, abbiamo $B M^{2} = B N^{2} + M N^{2} = 2 M N^{2}$ $BM^2 = BN^2 + MN^2 = 2MN^2$ . Ma come $B M = \frac{s}{2}$ $BM = s/2$ , possiamo sostituirlo e risolverlo $M N$ $MN$ per ottenere $M N = \frac{s}{2 \sqrt{2}}$ $MN = s/(2sqrt(2))$

Ora che abbiamo le lunghezze laterali del rettangolo, possiamo facilmente trovare il suo perimetro $p$ $p$ e area $A$ $A$ .

$p = 2 (\frac{s}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{s}{2 \sqrt{2}}) = \frac{2 s}{\sqrt{2}} + \frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} s$ $p = 2(s/sqrt(2)) + 2(s/(2sqrt(2))) = (2s)/sqrt(2)+s/sqrt(2) = 3/sqrt(2)s$

$A = (\frac{s}{\sqrt{2}}) (\frac{s}{2 \sqrt{2}}) = \frac{s^{2}}{4}$ $A = (s/sqrt(2))(s/(2sqrt(2))) = s^2/4$

Dato un triangolo isoscele ad angolo retto con il lato s s e una costruzione del rettangolo inscritto MNOP tale che PO // MN. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo MNOP in termini di s s ?

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Dato un triangolo isoscele ad angolo retto con il lato $s$ $s$ e una costruzione del rettangolo inscritto MNOP tale che PO // MN. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo MNOP in termini di $s$ $s$ ?