Dato un triangolo isoscele ad angolo retto con il lato s e una costruzione del rettangolo inscritto MNOP tale che PO // MN. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo MNOP in termini di s ?

Risposta:

p = 3/sqrt(2)s

A = s^2/4

Spiegazione:

In primo luogo, troveremo MP.

Perché MNOP è un rettangolo, lo sappiamo bar(MP) è parallelo a bar(ON)e quindi a bar(BC). Questo implica che angleAMP = angleABC e angleAPM = angle ACB, che significa triangleAMP è simile triangleABC, e così anche gli isosceli.

As AM = MB e AM+MB = s, lo sappiamo s = 2AM, o AM = s/2. Perché triangleAMP è isoscele, anche questo ci dà AP = s/2. Usando il teorema di Pitagora, Poi abbiamo MP^2 = AM^2 + AP^2 = 2(s/2)^2 = s^2/2, e così MP = s/sqrt(2).

Successivamente, troveremo MN.

Perché MNOP è un rettangolo, lo sappiamo angleMNO=90^@. Quindi, come angleBNM è il suo complimento, abbiamo anche angleBNM = 90^@.

Come sono gli angoli non retti di un triangolo rettangolo isoscele 45^@, sappiamo angleABC = 45^@, sottintendendo angleMBN = 45^@. così triangleBNM è anche un triangolo rettangolo isoscele, e così BN = NM.

Applicando di nuovo il teorema di Pitagora, abbiamo BM^2 = BN^2 + MN^2 = 2MN^2. Ma come BM = s/2, possiamo sostituirlo e risolverlo MN per ottenere MN = s/(2sqrt(2))

Ora che abbiamo le lunghezze laterali del rettangolo, possiamo facilmente trovare il suo perimetro p e area A.

p = 2(s/sqrt(2)) + 2(s/(2sqrt(2))) = (2s)/sqrt(2)+s/sqrt(2) = 3/sqrt(2)s

A = (s/sqrt(2))(s/(2sqrt(2))) = s^2/4

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