Espandi # sin ^ 6 x #?

Vogliamo espanderci

#sin^6(x)#

Un modo è usare queste identità ripetutamente

• #sin^2(x)=1/2(1-cos(2x))#
• #cos^2(x)=1/2(1+cos(2x))#

Questo spesso diventa piuttosto lungo, il che a volte porta a un errore

Un altro modo è usare i numeri complessi (e la formula di Eulero)

Possiamo esprimere seno e coseno come

#color(red)(sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i))# and #color(red)(cos(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2)#

così

#sin^6(x)=((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^6#

#=(e^(ix)-e^(-ix))^6/(-64)#

#=(e^(6ix)-6e^(4ix)+15e^(2ix)-20+15e^(-2ix)-6e^(-4ix)+e^(-6ix))/(-64)#

#=-1/32(e^(6ix)+e^(-6ix)-6e^(4ix)-6e^(-4ix)+15e^(2ix)+15e^(-2ix)-20)/2#

#=-1/32(cos(6x)-6cos(4x)+15cos(2x)-10)#

Il terzo modo è usare il teorema di De Moivre, che possiamo esprimere

#color(blue)(2cos(nx)=z^n+1/z^n)# and #color(blue)(2isin(nx)=z^n-1/z^n#

where #z^n=(cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)#

così

#(2isin(x))^6=(z-1/z)^6#

#=>sin^6(x)=-1/64(z-1/z)^6#

Espandi il binomio sul lato destro

#BIN=(z^6+1/z^6-6z^4-6/z^4+15z^2+15/z^2-20)#

#color(white)(RHS)=(z^6+1/z^6-6*(z^4+1/z^4)+15*(z+1/z)+20)#

#color(white)(RHS)=(2cos(6x)-12cos(4x)+30cos(2x)-20)#

così

#sin^6(x)=-1/64(2cos(6x)-12cos(4x)+30cos(2x)-20)#

#sin^6(x)=-1/32(cos(6x)-6cos(4x)+15cos(2x)-10)#