Espandi ${sin}^{6} x$ $sin ^ 6 x$ ?

Risposta:

${sin}^{6} (x) = - \frac{1}{32} (cos (6 x) - 6 cos (4 x) + 15 cos (2 x) - 10)$ $sin^6(x)=-1/32(cos(6x)-6cos(4x)+15cos(2x)-10)$

Spiegazione:

Vogliamo espanderci

${sin}^{6} (x)$ $sin^6(x)$

Un modo è usare queste identità ripetutamente

${sin}^{2} (x) = \frac{1}{2} (1 - cos (2 x))$ $sin^2(x)=1/2(1-cos(2x))$
${cos}^{2} (x) = \frac{1}{2} (1 + cos (2 x))$ $cos^2(x)=1/2(1+cos(2x))$

Questo spesso diventa piuttosto lungo, il che a volte porta a un errore

Un altro modo è usare i numeri complessi (e la formula di Eulero)

Possiamo esprimere seno e coseno come

$sin (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}$ $color(red)(sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i))$ and $cos (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}$ $color(red)(cos(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2)$

così

${sin}^{6} (x) = {(\frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i})}^{6}$ $sin^6(x)=((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^6$

$= \frac{{(e^{i x} - e^{- i x})}^{6}}{- 64}$ $=(e^(ix)-e^(-ix))^6/(-64)$

$= \frac{e^{6 i x} - 6 e^{4 i x} + 15 e^{2 i x} - 20 + 15 e^{- 2 i x} - 6 e^{- 4 i x} + e^{- 6 i x}}{- 64}$ $=(e^(6ix)-6e^(4ix)+15e^(2ix)-20+15e^(-2ix)-6e^(-4ix)+e^(-6ix))/(-64)$

$= - \frac{1}{32} \frac{e^{6 i x} + e^{- 6 i x} - 6 e^{4 i x} - 6 e^{- 4 i x} + 15 e^{2 i x} + 15 e^{- 2 i x} - 20}{2}$ $=-1/32(e^(6ix)+e^(-6ix)-6e^(4ix)-6e^(-4ix)+15e^(2ix)+15e^(-2ix)-20)/2$

$= - \frac{1}{32} (cos (6 x) - 6 cos (4 x) + 15 cos (2 x) - 10)$ $=-1/32(cos(6x)-6cos(4x)+15cos(2x)-10)$

Il terzo modo è usare il teorema di De Moivre, che possiamo esprimere

$2 cos (n x) = z^{n} + \frac{1}{z^{n}}$ $color(blue)(2cos(nx)=z^n+1/z^n)$ and $2 i sin (n x) = z^{n} - \frac{1}{z^{n}}$ $color(blue)(2isin(nx)=z^n-1/z^n$

where $z^{n} = {(cos (x) + i sin (x))}^{n} = cos (n x) + i sin (n x)$ $z^n=(cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)$

così

${(2 i sin (x))}^{6} = {(z - \frac{1}{z})}^{6}$ $(2isin(x))^6=(z-1/z)^6$

$\Rightarrow {sin}^{6} (x) = - \frac{1}{64} {(z - \frac{1}{z})}^{6}$ $=>sin^6(x)=-1/64(z-1/z)^6$

Espandi il binomio sul lato destro

$B I N = (z^{6} + \frac{1}{z^{6}} - 6 z^{4} - \frac{6}{z^{4}} + 15 z^{2} + \frac{15}{z^{2}} - 20)$ $BIN=(z^6+1/z^6-6z^4-6/z^4+15z^2+15/z^2-20)$

$R H S = (z^{6} + \frac{1}{z^{6}} - 6 \cdot (z^{4} + \frac{1}{z^{4}}) + 15 \cdot (z + \frac{1}{z}) + 20)$ $color(white)(RHS)=(z^6+1/z^6-6*(z^4+1/z^4)+15*(z+1/z)+20)$

$R H S = (2 cos (6 x) - 12 cos (4 x) + 30 cos (2 x) - 20)$ $color(white)(RHS)=(2cos(6x)-12cos(4x)+30cos(2x)-20)$

così

${sin}^{6} (x) = - \frac{1}{64} (2 cos (6 x) - 12 cos (4 x) + 30 cos (2 x) - 20)$ $sin^6(x)=-1/64(2cos(6x)-12cos(4x)+30cos(2x)-20)$

${sin}^{6} (x) = - \frac{1}{32} (cos (6 x) - 6 cos (4 x) + 15 cos (2 x) - 10)$ $sin^6(x)=-1/32(cos(6x)-6cos(4x)+15cos(2x)-10)$

Espandi sin ^ 6 x sin6x sin ^ 6 x ?

Risposta:

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