Gli uomini hanno larghezze di testa che sono normalmente distribuite con una media di 6.0 pollici e una deviazione standard di 1.0 pollici. Se un maschio viene selezionato casualmente, qual è la probabilità che la sua larghezza della testa sia inferiore a 6.2 pollici?

Vogliamo trovare la probabilità che, in una serie normalmente distribuita, incontreremo un valore che è inferiore al valore che è .2 maggiore della media.

La tabella z è ottima per questo tipo di problema.

Il punteggio z per una larghezza di testa di 6.2 sarebbe pari a 2 perché la media è 6 e la deviazione standard è 1.

#(deviation)/sigma = z#

#.2 / 1 = .2# (Se la deviazione standard fosse un numero diverso da 1, avremmo bisogno di farlo per trovare il punteggio z di una deviazione dalla media)

Ora possiamo guardare nella nostra tabella z positiva (quella che ho collegato qui proviene da chegg.com) per trovare l'area di una curva normale a sinistra di #z = 0.20#e vediamo che è .5793, il che significa che c'è una probabilità del 57.93% che ti imbatterai in un uomo con una larghezza della testa inferiore a 6.2 pollici.

Edit: Vedo che questa è una domanda in due parti.

Per la seconda parte, si desidera utilizzare questa formula:

#sigma_bar x = sigma/sqrtn#

con i #n# essendo la dimensione del campione.

#sigma/sqrtn -> 1.0/sqrt100#

#sigma_bar 100 = 0.1#

Ora possiamo usare il teorema del limite centrale.

#z = (bar x - mu_bar x)/sigma_bar x#

#z = (6.2 - 6.0)/0.1#

#z = 2.00#

Tornando alla nostra tabella z:

#z = 2.00 -> .9772#

o una probabilità del 97.72%.