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Il tetraedro racchiuso tra i piani di coordinate e il piano 2x + y + z = 4, come trovi il volume?

Non è nemmeno necessario utilizzare gli integrali per trovare il volume, ma è possibile, immagino.

ho ottenuto #16/3# dall'uso di integrali tripli e dall'uso di un approccio visivo.

APPROCCIO VISIVO

Per questo piano, poiché si interseca con il #xy#, #xz# e #yz# piani, costituisce un quarto di una piramide romboidale. Quindi, tutto ciò che dobbiamo fare è:

  1. Trova le intersezioni
  2. Determina la lunghezza di ciascuna distanza diagonale
  3. Trova il volume dell'intera ipotetica piramide romboidale
  4. Dividi per #4#

Le intersezioni sono al #x#, #y# e #z# asse.

  • Un incrocio è sul #x#-asse, che è quando #y = z = 0#. Così, #x = 2#.
  • Un incrocio è sul #y#-asse, che è quando #x = z = 0#. Così, #y = 4#.
  • Un incrocio è sul #z#-asse, che è quando #x = y = 0#. Così, #z = 4#.

Quindi, le tre intersezioni sono #(2,0,0)#, #(0,4,0)# e #(0,0,4)#, di distanze #2#, #4# e #4#, rispettivamente, da #(0,0,0)#.

  • Dal #z# intersezione, otteniamo l'altezza dell'ipotetica piramide romboidale.
  • Dal #x# e #y# intersezioni, otteniamo metà di ogni distanza diagonale attraverso la base ipotetica.

Il volume dell'intero piramide romboidale sarebbe stato:

#mathbf(V_"tetrahedron" = 1/3A_"base"h)#

L'area del base rombo simmetrica è poi quattro volte l'area di ogni porzione triangolare, che è l'area racchiusa da #y = 4 - 2x# e il #x# e #y# assi.

#x# e #y# diventa l'altezza del triangolo, e risolviamo per la sua area come #A_"triangle" = 1/2xy#. Così:

#A_"base" = 4(1/2xy) = 2xy = 2(2)(4) = 16#

Oppure avremmo potuto usare la formula per il area di un rombo ("metodo diagonali"), che utilizza #2x# e #2y# come le diagonali #p# e #q#.

#A_"base" = (pq)/2 = ((2x)(2y))/2 = 2xy = 16#

Infine, per costruzione, il volume del tetraedro originale è quindi un quarto del volume della nostra ipotetica piramide romboidale:

#color(blue)(V_"tetrahedron") = 1/4[1/3Ah]#

#= 1/4*1/3[16*4]#

#= 1/4*64/3#

#= color(blue)(16/3)#

APPROCCIO DI CALCOLO III

Un approccio alternativo a questo utilizzo integrali tripli implica l'integrazione di ogni dimensione alla volta.

#=> mathbf(int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1)^(z_2) dzdydx)#

Quello che abbiamo è #x_1 = y_1 = z_1 = 0#, poiché il limite inferiore è ogni piano di coordinate. Cioè lo sappiamo #x,y,z >= 0#, quindi siamo vincolati da questi valori.

Successivamente, per ottenere i limiti superiori, risolviamo l'equazione per ogni singola variabile.

  • Risolvere per #z_2#, noi abbiamo #color(green)(z_2 = 4 - 2x - y)#.

Note: our integration element can't have #x = y = 0#, because #z = 4 - 2x# is our #xz#-plane triangle, and #y# allows us to integrate with respect to #y# later. This is our projection along the #mathbf(y)# axis.

  • Risolvere per #y_2#, notiamo che in tre dimensioni, esistono Due incroci sul #xy#-piano: quando #x = 0#, E quando #y = 0#. Possiamo includerli entrambi in un'equazione a 2 variabili quando #z = 0# ottenere:

#color(green)(y_2 = 4 - 2x)#

Note: our integration element can't have #x = 0#, because #y = 4# is just a horizontal line, and we need to integrate with respect to #x# later. This is our projection along the #mathbf(x)# axis.

  • Risolvere per #x_2#, troviamo dove #4 - 2x# interseca il #x#-asse: quando #z = 0# e #y = 0#. Pertanto, lavoriamo dall'equazione iniziale per ottenere:

#2x_2 = 4 - z - y => 2x_2 = 4#

#color(green)(x_2 = 2)#

Nel complesso, dovremmo immaginare il #xz#-piano costruito dal #x# e #z# intercetta, proiettato verso l'esterno lungo il #mathbf(y)# asse, limitato:

così:

generare il tetraedro:

Quindi, i nostri integrali funzionano così, da dentro e fuori:

#int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) int_(0)^(4 - 2x - y) 1dzdydx#

#= int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) 4 - 2x - y dydx#

Ora per l'integrale "parziale" rispetto a #y# (l'inverso del derivato parziale rispetto a #y#). Così, #x# è una costante.

#= int_(0)^(2) |[4y - 2xy - y^2/2]|_(0)^(4-2x) dx#

#= int_(0)^(2) [(4(4-2x) - 2x(4-2x) - (4-2x)^2/2) - cancel((4(0) - 2x(0) - (0)^2/2))] dx#

#= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (16 - 16x + 4x^2)/2] dx#

#= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (8 - 8x + 2x^2)] dx#

#= int_(0)^(2) 16 - 8x - 8x + 4x^2 - 8 + 8x - 2x^2 dx#

Infine, l'integrale rispetto a #x# è più facile, con una sola variabile da gestire.

#= int_(0)^(2) 16 + 2x^2 - 8x - 8dx#

#= |[16x + 2/3x^3 - 4x^2 - 8x]|_(0)^(2)#

#= [16(2) + 2/3(2)^3 - 4(2)^2 - 8(2)] - cancel([16(0) + 2/3(0)^3 - 4(0)^2 - 8(0)])#

#= 32 + 16/3 - 16 - 16#

#= color(blue)(16/3)#

... che corrisponde all'approccio visivo più intuitivo! 🙂

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