Integrare log (sinx) da 0 a pi / 2?

Usiamo la proprietà #int_0^af(x)dx=int_0^af(a-x)dx#

quindi possiamo scrivere #I=int_0^(pi/2)logsinxdx=int_0^(pi/2)logsin(pi/2-x)dx#

or #I=int_0^(pi/2)logsinxdx=int_0^(pi/2)logcosxdx#

or #2I=int_0^(pi/2)(logsinx+logcosx)dx=int_0^(pi/2)log(sinxcosx)dx#

= #int_0^(pi/2)log((sin2x)/2)dx=int_0^(pi/2)(logsin2x-log2)dx#

= #int_0^(pi/2)logsin2xdx-int_0^(pi/2)log2dx#

= #int_0^(pi/2)logsin2xdx-(pi/2)log2# .............(UN)

lasciare #I_1=int_0^(pi/2)logsin2xdx# e #t=2x#, poi #I_1=1/2int_0^pilogsintdt#

e usando la proprietà #int_0^(2a)f(x)dx=2int_0^af(a-x)dx#, Se #f(2a-x)=f(x)# - nota che qui #logsint=logsin(pi-t)# e otteniamo

#I_1=1/2int_0^pilogsintdt=int_0^(pi/2)logsintdt=I#

Quindi (A) diventa #2I=I-(pi/2)log2#

or #I=-(pi/2)log2#