Qual è corretto 'vi contatteremo presto' o 'vi contatteremo presto'?

Entrambi sono corretti. La differenza di significato è sottile e ha a che fare con le funzioni dei vari tempi usati per il futuro in inglese. Quella che segue è una descrizione di come la maggior parte dei madrelingua inglesi usano questi due tempi, non una regola grammaticale.

Il futuro continuo ('farà') è normalmente usato in due situazioni principali. Uno, predice un'azione che sarà in corso in un certo momento nel futuro o mentre qualcos'altro è in corso, per esempio "Alle 23:00 di questa sera mi preparerò per andare a letto" e "Mentre mia moglie sta guardando la TV questa sera, io giocherò ai videogiochi."

Due (e questo è quello che si applica alla tua frase), il futuro continuo può essere usato per descrivere un'azione che è stata organizzata per accadere in un certo momento nel futuro, ad esempio "Alla conferenza, ci incontreremo con i nostri agenti regionali". Questo ci dice che tutti gli agenti regionali sanno dell'incontro, che tutti hanno già concordato di incontrarsi, e che chi parla è molto sicuro che accadrà. Dà una sensazione un po' formale o d'affari alla frase. Tuttavia, potremmo usarlo nel discorso di tutti i giorni, ad esempio: "Mi dispiace che non possiamo venire a cena sabato. Io e mia moglie lavoreremo tutto il giorno alla nostra dichiarazione dei redditi."

Quello che viene spesso chiamato futuro semplice ('farà') può avere diverse funzioni. Due funzioni comuni sono la previsione ("Penso che domani pioverà") e la promessa ("Ti restituirò i soldi che ti devo giovedì"). "La contatteremo presto" è molto probabilmente un tipo di promessa.

Quindi la differenza è questa: "Ti contatteremo presto" ti dice che qualche processo è già iniziato e che puoi contare sul fatto di essere contattato presto. "La contatteremo presto" è una promessa, ma sembra meno rassicurante. Se avessi fatto domanda per un lavoro o chiesto un'informazione, per esempio, sarei più sicuro di ottenere una risposta nel prossimo futuro se sentissi "We will be contacting you soon."

Non preoccupatevi della differenza tra 'shall' e 'will' se parlate inglese nordamericano, per inciso. In Nord America usiamo 'shall' solo in alcuni rari casi, ad esempio "Shall I make some coffee?"