Cos'è x=-2 in forma polare?

La maggior parte delle persone che scrivono l'identità di Eulero come [math]e^{i\pi} + 1 = 0[/math] e fanno gli stupidi con le costanti non capiscono che uno dei suoi due usi principali è quello di rispondere a questa domanda, o più in generale, come i numeri reali negativi sono rappresentati in coordinate polari.

[math]e^{i \pi} = -1[/math]

[math]2 e^{i \pi} = -2[/math]

Questo è [math]-2[/math] in forma polare, grandezza [math]2[/math], angolo [math]\pi.[/math]

L'altro uso dell'identità di Eulero è quello di elevare al quadrato per ottenere l'identità molto più fondamentale, che io chiamo la Vera Identità di Eulero:

[math]e^{2\pi i} =1[/math]

Questa identità racchiude la periodicità fondamentale della funzione esponenziale immaginaria, [math]f(x) = e^{ix}.[Per intenderci:

[math]f(x + 2\pi) = e^{i(x+2\pi)} = e^{ix}e^{2\pi i} = e^{ix} = f(x)[/math]

Da questo e dalla formula di Eulero segue che le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche con periodo [math]2\pi.[Non è necessario introdurre altri fatti sulla trigonometria.

Risolvendo la Vera Identità di Eulero a qualsiasi potenza intera [math]k[/math] si ottiene [math]e^{2\pi k i}=1.[/math] Questa è la ragione fondamentale per cui molte espressioni complesse sono multivalenti. Possiamo moltiplicare qualsiasi cosa per uno senza cambiarla, quindi queste espressioni sono, esplicitamente o implicitamente, funzioni di [math]k.[/math]

Per esempio, le radici cubiche dell'unità sono

[math]1^{\frac 1 3} = (e^{2\pi k i})^{\frac 1 3} = e^{i (2\pi/3) k}[/math]

Ci sono tre valori unici qui, dati per qualsiasi tre [math]k[/math]s consecutivi.