Come calcolare il valore di (1+i) ^4

Interpretazione geometrica delle potenze complesse

Decomponi il tuo vettore complesso [math]\color{blue}{z} = \color{blue}{(1 + i)}[/math] in due sottovettori:

[math]\displaystyle \color{blue}{z} = \color{blue}{1 + i} = 1 + \color{red}{i}[/math]

1. Il primo termine (nero) è il vettore reale unitario positivo (questo è sempre 1). Usa questa maniglia nera per il ridimensionamento e la rotazione.
2. Il residuo [math]\color{blue}{z} - 1 = \color{rosso}{i}[/math] (nel tuo caso è puramente reale). Nella figura questa è la linea rossa.

Ora il nostro punto di partenza è [math] {(1 + \color{red}{i})}^1[/math] .

Per ottenere [math]{(\color{blue}{1 + i})}^2[/math] prendiamo il manico nero, lo scaliamo alla lunghezza del punto finale precedente [math]|\color{blue}{1 + i}| = \sqrt(2)[/math] e lo ruotiamo verso quel punto finale, con [math]tan^{-1}(\frac{1}{1}) = 45[/math] gradi. Scala il triangolo completo, e ora il punto finale del vettore rosso scalato è il nuovo valore complesso, essendo [math]{(\color{blue}{1 + i})}^2[/math].

Per ottenere [math]{(\color{blue}{1 + i})}^3[/math], prendete di nuovo il manico nero del triangolo iniziale, e scalatelo per avere una lunghezza di [math]|(\color{blue}{1 + i})^2| = 2 [/math], e ruotatelo ora di 90 gradi. Scala il triangolo completo, e ora il punto finale del vettore rosso è a [math]{(\color{blue}{1 + i})}^3[/math].

...eccetera...

Secondo esempio

Ripetiamo questo per prendere la seconda potenza di [math]\color{blue}{z} = \color{blue}{2 + 2i}[/math].

Prima decomponi [math]\color{blue}{z}[/math] nel vettore reale unitario positivo (1) e nel residuo:

[math]\displaystyle \color{blue}{2 + 2i} = 1 + \color{red}{(1+2i)}[/math]

E usa la maniglia nera per scalare e ruotare: