Qual è il limite di # (1 + 4 / x) ^ x # mentre x si avvicina all'infinito?

Notare che

#(1 + 4/x)^x = e^(x ln(1 + 4/x))#

e se esiste il limite,

#lim_{x -> oo} ( e^(x ln(1 + 4/x)) ) = e^{lim_{x -> oo}(x ln(1+4/x))}#

poiché la funzione esponenziale è continua ovunque.

Per valutare il limite all'esponente, lo scriviamo prima come

#x ln(1 + 4/x) = frac{ln(1 + 4/x)}{1/x}#

Dal momento che la forma è indeterminata #0/0#, utilizzare la regola L'hospital.

#lim_{x->oo}(ln(1+4/x)/(1/x)) = lim_{x->oo}(frac{frac{d}{dx}(ln(1+4/x))}{frac{d}{dx}(1/x)})#

#= lim_{x->oo}(frac{-4/x^2}{(1+4/x)}/(-1/x^2))#

#= lim_{x->oo}(4/(1+4/x))#

#= frac{4}{1+0}#

#= 4#

Pertanto, il limite è #e^4#.