Come trovi il limite di # (ln x) ^ (1 / x) # mentre x si avvicina all'infinito?

Iniziamo con un trucco abbastanza comune quando abbiamo a che fare con esponenti variabili. Possiamo prendere il registro naturale di qualcosa e quindi aumentarlo come esponente della funzione esponenziale senza modificarne il valore in quanto si tratta di operazioni inverse, ma ci consente di utilizzare le regole dei registri in modo vantaggioso.

#lim_(xrarroo) (ln(x))^(1/x) = lim_(xrarroo) exp(ln((ln(x))^(1/x)))#

Utilizzando la regola esponente dei registri:

#=lim_(xrarroo) exp(1/xln(ln(x)))#

Si noti che è l'esponente che varia come #xrarroo# così possiamo concentrarci su di esso e spostare la funzione esponenziale all'esterno:

#=exp(lim_(xrarroo)(ln(ln(x))/x))#

Se osservi il comportamento della funzione log naturale noterai che siccome x tende all'infinito, anche il valore della funzione tende all'infinito, anche se molto lentamente. Quando prendiamo #ln(ln(x))# abbiamo una variabile all'interno della funzione log che tende all'infinito molto lentamente, il che significa che abbiamo una funzione complessiva che tende all'infinito ESTREMAMENTE lentamente. Il grafico seguente varia solo fino a #x=1000# ma dimostra la crescita estremamente lenta di #ln(ln(x))# anche in confronto alla lenta crescita di #ln(x)#.

Da questo comportamento, possiamo dedurlo #x# esibirà una crescita asintotica molto più veloce e che il limite dell'esponente sarà quindi zero. #color(blue)("This means that overall limit = 1.")#

Possiamo anche affrontare questo punto con la regola di L'hopital. Abbiamo bisogno che il limite sia in forma indeterminata, cioè #0/0 or oo/oo# quindi controlliamo che questo sia il caso:

#lim_(xrarroo)ln(ln(x)) = ln(ln(oo)) = ln(oo) = oo#

#lim_(xrarroo) x = oo#

Questo è davvero il caso quindi il limite diventa:

#=exp(lim_(xrarroo)((d/(dx)(ln(ln(x))))/(d/(dx)x)))#

Differenziare #y = ln(ln(x))# riconoscere che abbiamo #y(u(x))# e usa il regola di derivazione

#(dy)/(dx) = (dy)/(du)(du)/(dx)#

#u = ln(x) implies (du)/(dx) = 1/x#

#y = ln(u) implies (dy)/(du) = 1/u = 1/(ln(x))#

#therefore (dy)/(dx) = 1/(ln(x))*1/x = 1/(xln(x))#

Derivata di #x# is #1#. Il limite diventa:

#=exp(lim_(xrarroo)((1/(xln(x)))/1)) = exp(lim_(xrarroo)(1/(xln(x))))#

Abbiamo affrontato il fatto che entrambe le funzioni sul denominatore tendono all'infinito, quindi abbiamo

#exp(1/oo) = exp(0) = 1#