Qual è la derivata di # 2 ^ x #?

Per poter calcolare la derivata di #2^x#, dovrai usare due cose

• il fatto che #d/dx(e^x) = e^x#

• il regola di derivazione

L'idea qui è che puoi usare il fatto di sapere qual è il derivato #e^x# è cercare di determinare di cosa sia la derivata un'altra costante elevato al potere di #x#, in questo caso uguale a #2#è.

Per farlo, devi scrivere #2# come numero esponenziale che ha la base uguale a #e#.

Usa il fatto che

#color(blue)(e^(ln(a)) = a)#

scrivere

#e^(ln2) = 2#

Questo implica che #2^x# sarà equivalente a

#2^x = (e^(ln2))^x = e^(x * ln2)#

Il tuo derivato ora assomiglia a questo

#d/dx(e^(x * ln2))#

È qui che entra in gioco la regola della catena. Sai che la derivata di una funzione #y = f(u)# può essere scritto come

#dy/dx = dy/(du) * (du)/dx#

Nel tuo caso, #y = e^(x * ln2)# e #u = x * ln2#, in modo che il tuo derivato diventi

#d/dx(e^u) = underbrace(e^u/(du))_(color(blue)(=e^u)) * d/dx(u)#

#d/dx(e^u) = e^u * d/dx(u)#

Ora sostituisci #u# calcolare #d/dx(u)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * d/dx(x * ln2)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2 d/dx(x)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2#

Perciò,

#d/dx(2^x) = color(green)(2^x * ln 2)#