Come si trova la derivata della funzione usando la definizione della derivata #g (t) = 7 / sqrt (t) #?

#g(t) = 7/sqrtt#

Presumo che ti sia permesso usare la definizione:

#g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h#

(Esistono altri modi per esprimere la definizione di derivata, ma questa è molto comune.)

#g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h#

#= lim_(hrarr0)(7/sqrt(t+h)-7/sqrtt)/h#

#= lim_(hrarr0)(7sqrtt -7sqrt(t+h))/(sqrt(t+h)sqrtt)*1/h#

#= lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt)#

Si noti che, se proviamo a valutare per sostituzione, otteniamo la forma indeterminata #0/0#.
La cosa da provare qui (funzionerà) è razionalizzare il numeratore usando il coniugato di #sqrtt-sqrt(t+h)#.

Cioè: moltiplicheremo per #1#, Nella forma: #(sqrtt + sqrt(t+h))/(sqrtt + sqrt(t+h))#

Riprendiamo:

#g'(t) = lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt) *((sqrtt + sqrt(t+h)))/((sqrtt + sqrt(t+h))) #

# =lim_(hrarr0) (7(t-(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))#

# =lim_(hrarr0) (-7cancel(h))/(cancel(h)sqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))#

Ora possiamo valutare il limite:

#g'(t) = (-7)/(sqrt(t+0)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+0))#

# = (-7)/(sqrttsqrtt(2sqrtt)) = (-7)/(t(2sqrtt)) = (-7)/(2tsqrtt)#

Osservazioni
Può essere utile osservare che in un certo senso abbiamo scambiato la sottrazione: #sqrtt-sqrt(t+h)# nel numeratore per un'aggiunta: #sqrtt+sqrt(t+h)# nel denominatore.
La sottrazione va a #0#, l'aggiunta no.
Nel processo, siamo stati in grado di eliminare il fattore di #h# sia dal numeratore che dal denominatore.