Qual è la derivata di # y = arccos (x) #?

La risposta è:

#dy/dx = -1/(sqrt(1-x^2))#

Questa identità può essere dimostrata facilmente applicando #cos# su entrambi i lati dell'equazione originale:

1.) #y = arccosx#

2.) #cos y = cos(arccosx)#

3.) #cos y = x#

Continuiamo usando Differenziazione implicita, tenendo presente di usare il regola di derivazione on #cosy#:

4.) #-siny dy/dx = 1#

Risolvere per #dy/dx#:

5.) #dy/dx = -1/siny#

Ora, la sostituzione con la nostra equazione originale produce #dy/dx# in termini di #x#:

6.) #dy/dx = -1/sin(arccosx)#

All'inizio questo potrebbe non sembrare così eccezionale, ma può essere semplificato se si ricorda l'identità
#sin(arccosx) = cos(arcsinx) = sqrt(1 - x^2)#.

7.) #dy/dx = -1/sqrt(1 - x^2)#

Questa è una buona definizione da memorizzare, insieme a #d/dx[arcsin x]# e #d/dx[arctan x]#, poiché compaiono abbastanza frequentemente in problemi di differenziazione avanzata.